2016年温州市高一摇篮杯数学竞赛试题及参考答案

2016年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷2016.4本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷共三页，选择题部分1至2页，非选择题2至3页。满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.已知RM42,31,RN3,1,则NM=()A.B.2C.2,2D.2,22.在平面直角坐标系XOY中，若点P的坐标为3cos2,3sin2，则POX=()A.3B.3C.23D.233.在ABC中，已知1AB，2ACAB,若ABCS=1，则BC=()A.5B.3C.1D.24.函数xxy43的值域是()A.2,1B.3,1C.23,1D.2,15.如果一个函数xf在其定义域内对任意的yx,都满足22yfxfyxf，则称这个函数为下凸函数，下列函数是下凸函数的是()①xxf2log②3xxf③xxf2④0,20,xxxxxfA.①②B.②③C.③④D.①④6.函数xaxf2sin2的值域为2,2-，在区间12,125上单调递减，则常数a和的值可以是()A.32,1aB.34,1aC.34,1aD.32,1a7.已知3,*kNk，若一元二次方程0212kpxxk的两根都是正整数，则kp=()A.12B.11C.10D.98.化简85sin65cos55cos15cos=()A.4B.3C.34D.339.平面直角坐标系中aaACABAPCBA1,1,2,2,0,4,1,1若动点P组成的区域面积为32，则a等于()A.27B.3C.2D.2310.设2,2,...,,201621aaa，且0...201621aaa,则320163231...aaaf的最大值是()A.2016B.3024C.4032D.5040第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11.函数22123logxxxf的单调递减区间是12.定义在R上的奇函数0,20,22xxgxxxxf，则2gf=13.指数函数1,0aaayx和对数函数1,0logaaya的图像分别为1C和2C，点M在曲线1C上，线段OM(O为坐标原点）交曲线1C与另一点N,若曲线2C存在点P，满足点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N的两倍，则点P的坐标是14.已知21,ee是两个相互垂直的单位向量，若21eyexa，且32yx，则a的最小值是15.已知函数xxxmxf4cos21cossin4在2,0x有最大值27，则实数m的值是16.函数xxxxxxxxxxxf20152014....4332211图像的对称中心是17.设x表示不超过x的最大整数,集合100,432xxxxxyyA中的元素个数为个三、解答题：本大题共三小题，共51分.18.（本题满分15分）已知函数03sin32cos62xxxf在一个周期内的图像如图所示，A为图像最高点，CB,为图像与x轴的交点且ABC为正三角形.Ⅰ、求的值及函数xf的值域；Ⅱ、若5380xf且32,3100x,求10xf.19.(本题满分18分）已知函数xf是定义在R上且5T的周期函数,当1,0x时，*343Nnxxfn,当4,1x时,bxxfalog,又函数xfy在1,1-上时奇函数且在区间1,0上单调递增.Ⅰ、求函数xfy在4,1上的解析式；Ⅱ、求函数xfy在R上的解析式.20.(本题满分18分）已知函数axxxf12,其中a为常数.Ⅰ、求函数xf在21,21的单调区间；Ⅱ、若不等式axxf2对任意的Rx恒成立，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题1.C2.D3.A4.D5.D6.B7.B8.A9.C(图解法)10.C二、填空题11.1,1或1,112.-1513.4log,4a14.55315.116.0152,100817.61(提示：分kxk41，kxk3141，kxk2131，kxk121，10x，*,100Nkk五种情况进行讨论)三、解答题18.Ⅰ、32,32Ⅱ、56719.Ⅰ、4,1,3log32xxxf(临界取值)Ⅱ、Zkkkxkxkkxkxxf45,15,35log315,15,153220.Ⅰ、当2321a时，xf在1,21a上递减，在21,1a上递增；当23a时，xf在21,21上递减；当21a时，xf在21,21上递增.Ⅱ、2141a(提示：由axaxx212得到axaxx122，比较axaxyxy122与的图像)