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第三部分图形运动中的计算说理问题3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题例12017年北京市中考第29题在平面直角坐标系中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙C的反称点的定义如下:若在射线CP上存在一点P′,满足CP+CP′=2r,则称点P′为点P关于⊙C的反称点.如图1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图.特别地,当点P′与圆心C重合时,规定CP′=0.(1)当⊙O的半径为1时,①分别判断点M(2,1),N3(,0)2,T(1,3)关于⊙O的反称点是否存在?若存在,求其坐标;②点P在直线y=-x+2上,若点P关于⊙O的反称点P′存在,且点P′不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围;图1(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线3233yx与x轴、y轴分别交于点A、B,若线段AB上存在点P,使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.例22017年福州市中考第22题如图1,抛物线21(3)12yx与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)求点A、B、C的坐标;(2)联结CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,联结AE、AD.求证:∠AEO=∠ADC;(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.图1例32017年南京市中考第26题已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0).(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点;(2)设该函数的图像的顶点为C,与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点D.①当△ABC的面积等于1时,求a的值②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.第三部分图形运动中的计算说理问题答案3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题例12017年北京市中考第29题在平面直角坐标系中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙C的反称点的定义如下:若在射线CP上存在一点P′,满足CP+CP′=2r,则称点P′为点P关于⊙C的反称点.如图1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图.特别地,当点P′与圆心C重合时,规定CP′=0.(1)当⊙O的半径为1时,①分别判断点M(2,1),N3(,0)2,T(1,3)关于⊙O的反称点是否存在?若存在,求其坐标;②点P在直线y=-x+2上,若点P关于⊙O的反称点P′存在,且点P′不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围;图1(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线3233yx与x轴、y轴分别交于点A、B,若线段AB上存在点P,使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.动感体验请打开几何画板文件名“15北京29”,拖动点圆心C在x轴上运动,可以体验到,当点P′在圆内时,CP的变化范围是1<CP≤2.思路点拨1.反称点P′是否存在,就是看CP′是否大于或等于0.2.第(2)题反称点P′在圆内,就是0≤CP′<1,进一步转化为0≤2-CP<1.满分解答(1)①对于M(2,1),OM=5.因为OM′=25<0,所以点M不存在反称点(如图2).如图3,对于N3(,0)2,ON=32.因为ON′=31222,所以点N′的坐标为1(,0)2.如图4,对于T(1,3),OT=2.因为OT′=0,所以点T关于⊙O的反称点T′是(0,0).图2图3图4②如图5,如果点P′存在,那么OP′=2-OP≥0.所以OP≤2.设直线y=-x+2与x轴、y轴的交点分别为A、B,那么OA=OB=2.如果点P在线段AB上,那么OP≤2.所以满足OP≤2且点P′不在x轴上的点P的横坐标的取值范围是0≤x<2.(2)由3233yx,得A(6,0),B(0,23).所以tan∠A=33OBOA.所以∠A=30°.因为点P′在⊙C的内部,所以0≤CP′<1.解不等式组0≤2-CP<1,得1<CP≤2.过点C作CP⊥AB于P,那么CP=12AC.所以2<AC≤4.所以2≤OC<4.因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x<4(如图6,图7所示).图5图6图7考点伸展第(2)题如果把条件“反称点P′在⊙C的内部”改为“反称点P′存在”,那么圆心C的横坐标的取值范围是什么呢?如果点P′存在,那么CP′≥0.解不等式2-CP≥0,得CP≤2.所以AC≤4.因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x<6.例22017年福州市中考第22题如图1,抛物线21(3)12yx与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)求点A、B、C的坐标;(2)联结CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,联结AE、AD.求证:∠AEO=∠ADC;(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“14福州22”,拖动点P在抛物线上运动,可以体验到,当PE最小时,PQ也最小.思路点拨1.计算点E的坐标是关键的一步,充分利用、挖掘等角(或同角)的余角相等.2.求PE的最小值,设点P的坐标为(x,y),如果把PE2表示为x的四次函数,运算很麻烦.如果把PE2转化为y的二次函数就比较简便了.满分解答(1)由22117(3)13222yxxx,得(3,1)D,7(0,)2C.由22111(3)1[(3)2](32)(32)222yxxxx,得(32,0)A,(32,0)B.(2)设CD与AE交于点F,对称轴与x轴交于点M,作DN⊥y轴于N.如图2,由(3,1)D,7(0,)2C,得DN=3,92CN.因此2tan3DNDCNCN.如图3,由OE⊥CD,得∠EOM=∠DCN.因此2tan3EMEOMOM.所以EM=2,E(3,2).由(32,0)A,(3,0)M,得2AM.因此2tan2AMAEMEM,12tan22DMDAMAM.所以∠AEM=∠DAM.于是可得∠AED=90°.如图4,在Rt△EHF与Rt△DAF中,因为∠EFH=∠DFA,所以∠HEF=∠ADF,即∠AEO=∠ADC.图2图3图4(3)如图5,在Rt△EPQ中,EQ为定值,因此当PE最小时,PQ也最小.设点P的坐标为(x,y),那么PE2=(x-3)2+(y-2)2.已知21(3)12yx,所以2(3)22xy.因此222(22)(2)26PEyyyy.所以当y=1时,PE取得最小值.解方程21(3)112x,得x=5,或x=1(在对称轴左侧,舍去).因此点P的坐标为(5,1).此时点Q的坐标为(3,1)或1913(,)55(如图6所示).图5图6图7考点伸展第(3)题可以这样求点Q的坐标:设点Q的坐标为(m,n).由E(3,2)、P(5,1),可得PE2=5.又已知EQ2=1,所以PQ2=4.列方程组2222(3)(2)1,(5)(1)4,mnmn解得113,1,mn2219,513.5mn还可以如图7那样求点Q的坐标:对于Q(m,n),根据两个阴影三角形相似,可以列方程组321152mnnm.同样地,对于Q′(m,n),可以列方程组321152mnnm.例32017年南京市中考第26题已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0).(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点;(2)设该函数的图像的顶点为C,与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点D.①当△ABC的面积等于1时,求a的值②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.动感体验请打开几何画板文件名“13南京26”,拖动y轴上表示实数a的点可以改变a的值,拖动点A可以改变m的值.分别点击按钮“m1”、“m2”、“m3”,再改变实数a,可以体验到,这3种情况下,点C、D到x轴的距离相等.请打开超级画板文件名“13南京26”,拖动点A可以改变m的值,竖直拖动点C可以改变a的值.分别点击按钮,可得到△ABC的面积与△ABD的面积相等的三种情形。思路点拨1.第(1)题判断抛物线与x轴有两个交点,容易想到用判别式.事实上,抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为(m,0)、(m+1,0),AB=1.2.当△ABC的面积等于1时,点C到x轴的距离为2.3.当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,C、D到x轴的距离相等.4.本题大量的工作是代入计算,运算比较繁琐,一定要仔细.满分解答(1)由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1),得抛物线与x轴的交点坐标为A(m,0)、B(m+1,0).因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.(2)①由y=a(x-m)2-a(x-m)211()24axma,得抛物线的顶点坐标为11(,)24Cma.因为AB=1,S△ABC=11124ABa,所以a=±8.②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,点C与点D到x轴的距离相等.第一种情况:如图1,C、D重合,此时点D的坐标可以表示为1(0,)4a,将1(0,)4Da代入211()24yaxma,得2111()424aama.解得12m.图1第二种情况:如图2,图3,C、D在x轴两侧,此时点D的坐标可以表示为1(0,)4a,将1(0,)4Da代入211()24yaxma,得2111()424aama.解得122m.图2图3考点伸展第(1)题也可以这样说理:由于由211()24yaxma,抛物线的顶点坐标为11(,)24Cma.当a>0时,抛物线的开口向上,而顶点在x轴下方,所以抛物线与x轴由两个交点;当a<0时,抛物线的开口向下,而顶点在x轴上方,所以抛物线与x轴由两个交点.因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.第(1)题也可以用根的判别式Δ说理:由y=a(x-m)2-a(x-m)=a[x2-(2m+1)x+m2+m],得2222[(21)4()]ammma>0.因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.这种方法是同学们最容易想到的,但是这种方法的运算量很大,一定要仔细.
本文标题:2017-2018 人教版中考压轴题汇编3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题
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