2017年天津文数高考试题（含答案）

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．·球的体积公式34π3VR.其中R表示球的半径.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}ABC，则()ABC（A）{2}（B）{1,2,4}（C）{1,2,4,6}（D）{1,2,3,4,6}（2）设xR，则“20x”是“|1|1x”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A）45（B）35（C）25（D）15（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（A）0（B）1（C）2（D）3（5）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（A）221412xy（B）221124xy（C）2213xy（D）2213yx（6）已知奇函数()fx在R上是增函数.若0.8221(log),(log4.1),(2)5afbfcf，则,,abc的大小关系为（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab（7）设函数()2sin(),fxxxR，其中0,||π.若5π11π()2,()0,88ff且()fx的最小正周期大于2π，则（A）2π,312（B）211π,312（C）111π,324（D）17π,324（8）已知函数||2,1,()2,1.xxfxxxx设aR，若关于x的不等式()||2xfxa在R上恒成立，则a的取值范围是（A）[2,2]（B）[23,2]（C）[2,23]（D）[23,23]第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）已知aR，i为虚数单位，若i2ia为实数，则a的值为.（10）已知aR，设函数()lnfxaxx的图象在点（1，(1)f）处的切线为l，则l在y轴上的截距为.（11）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.（12）设抛物线24yx的焦点为F，学科&网准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若120FAC，则圆的方程为.（13）若a，bR，0ab，则4441abab的最小值为.（14）在△ABC中，60A，AB=3，AC=2.若2BDDC，AEACAB（R），且4ADAE，则的值为.三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知sin4sinaAbB，2225()acabc.（I）求cosA的值；（II）求sin(2)BA的值.（16）（本小题满分13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，学&科网y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC∥，PDPB，1AD，3BC，4CD，2PD.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.（18）（本小题满分13分）已知{}na为等差数列，前n项和为*()nSnN，{}nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11bbbaaSb.（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}nnab的前n项和*()nN.（19）（本小题满分14分）设,abR，||1a.已知函数32()63(4)fxxxaaxb，()e()xgxfx.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）已知函数()ygx和exy的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：()fx在0xx处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式()exgx在区间00[1,1]xx上恒成立，求b的取值范围.（20）（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为,()0Fc，右顶点为A，点E的坐标为(0,)c，EFA△的面积为22b.（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，3||2FQc，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PMQN∥，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程.2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）答案（1）B（2）B（3）C（4）C（5）D（6）C（7）A（8）A（9）−2（10）1（11）9π2（12）22(1)(3)1xy（13）4（14）311（15）（Ⅰ）解：由sin4sinaAbB，及sinsinabAB，得2ab.由2225()acabc，及余弦定理，得222555cos25acbcaAbcac.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得25sin5A，代入sin4sinaAbB，得sin5sin45aABb.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以225cos1sin5BB.于是4sin22sincos5BBB，23cos212sin5BB，故4532525sin(2)sin2coscos2sin()55555BABABA.16.（Ⅰ）解：由已知，,xy满足的数学关系式为7060600,5530,2,0,0,xyxyxyxy即7660,6,20,0,0,xyxyxyxy该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为6025zxy.考虑6025zxy，将它变形为12525zyx，这是斜率为125，随z变化的一族平行直线.25z为直线在y轴上的截距，当25z取得最大值时，z的值最大.又因为,xy满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025zxy经过可行域上的点M时，截距25z最大，即z最大.解方程组7660,20,xyxy得点M的坐标为(6,3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.（17）本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.（Ⅰ）解：如图，由已知AD//BC，学|科网故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得225APADPD，故5cos5ADDAPAP.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为55.（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得2225DFCDCF,在Rt△DPF中，可得5sin5PDDFPDF.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为55.18.（Ⅰ）解：设等差数列{}na的公差为d，等比数列{}nb的公比为q.由已知2312bb，得21()12bqq，而12b，所以260qq.又因为0q，解得2q.所以，2nnb.由3412baa，可得138da①.由11411Sb，可得1516ad②，联立①②，解得11,3ad，由此可得32nan.所以，{}na的通项公式为32nan，{}nb的通项公式为2nnb.（Ⅱ）解：设数列2{}nnab的前n项和为nT，由262nan，有2342102162(62)2nnTn，2341242102162(68)2(62)2nnnTnn，上述两式相减，得23142626262(62)2nnnTn1212(12)4(62)2(34)21612nnnnn.得2(34)216nnTn.所以，数列2{}nnab的前n项和为2(34)216nn.19.【解析】（I）由324()63()fxxaxxab，可得2()3123()3()((44))f'xxaxaaxxa，令()0f'x，解得xa，或4xa.由||1a，得4aa.当x变化时，()f'x，()fx的变化情况如下表：x(,)a(),4aa(4,)a()f'x()fx所以，()fx的单调递增区间为(,)a，(4,)a，单调递减区间为(),4aa.（II）（i）因为()e(()())xxxg'ff'x，由题意知0000()e()exxxxgg'，所以0000000()eee(()())exxxxfffx'xx，解得00()1()0f'xxf.所以，()fx在0xx处的导数等于0.（ii）因为()exgx，00[11],xxx，由e0x，可得()1fx.又因为0()1fx，0()0f'x，故0x为()fx的极大值点，由（I）知0xa.另一方面，由于||1a，故14aa，由（I）知()fx在(,)1aa内单调递增，在(),1aa内单调递减，故当0xa时，()()1ffxa在[1,1]aa上恒成立，从而()exgx在00,[11]xx上恒成立.由32()63()14aafaaaab，得32261baa，11a.令32()261txxx，[1,1]x，所以2()612t