2018年江苏省高三上期末数学试题分类：选考选修4-2矩阵与变换

二、矩阵与变换（一）试题细目表地区+题号类型考点思想方法2018·南通泰州期末·21B解答矩阵与变换2018·无锡期末·21B解答矩阵与变换2018·扬州期末·21B解答矩阵与变换2018·常州期末·21B解答矩阵与变换2018·南京盐城期末·21B解答矩阵与变换2018·苏州期末·21B解答矩阵与变换2018·苏北四市期末·21B解答矩阵与变换（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·21B）已知xR，向量01是矩阵102xA的属于特征值的一个特征向量，求与1A.【答案】由已知得1002121xxc，所以20x所以1002A.设1abAcd，则11002abAAcd1001即102201abcd.所以1a，0bc，12d.所以2，110102A.2.（2018·无锡期末·21B）已知矩阵34Aab，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为112，属于特征值2的一个特征向量为23.求矩阵A.【答案】解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为112可得，1341122ab，即113822ab；得210ab，由矩阵A属于特征值2的一个特征向量为223，可得23423ab23，即226122233ab；得239ab，解得1211ab.即341211A3.（2018·扬州期末·21B）已知Ryx,，若点M(1,1)在矩阵A=32yx对应变换作用下得到点N(3,5)，求矩阵A的逆矩阵A-1。【答案】解：因为1315A，即213315xy，即2335xy，解得12xy，所以2132A，……5分法1：设1abcdA，则121103201abcdAA，即2132020321acacbdbd，……7分解得2132abcd，所以12132A.……10分法2：因为1dbabadbcadbccdcaadbcadbc，且21det()2213132A，所以1121213232A.……10分注：法2中没有交待逆矩阵公式而直接写结果的扣2分4.（2018·常州期末·21）已知矩阵421aA不存在逆矩阵，求：（1）实数a的值；（2）矩阵A的特征向量．【答案】（2）42=021，即(4)(1)40，所以250，解得120,510时，42020xyxy，2yx，属于10的一个特征向量为12；25时，20240xyxy，2xy，属于10的一个特征向量为21．5.（2018·南京盐城期末·21B）.已知矩阵2001M，求圆221xy在矩阵M的变换下所得的曲线方程.【答案】解：设00,Pxy是圆221xy上任意一点，则22001xy，设点00,Pxy在矩阵M对应的变换下所得的点为,Qxy，则002001xxyy，即002xxyy，解得0012xxyy，………………5分代入22001xy，得2214xy，即为所求的曲线方程.………………10分6.（2018·苏州期末·21）已知1221M，17，求4M．【答案】解矩阵M的特征多项式为212()2321f，·······2分令()0f，解得123,1，解得属于λ1的一个特征向量为111，属于λ2的一个特征向量为211．·······5分令12mn，即111711mn，所以1,7,mnmn解得4,3mn．·····································································································7分所以44441212(43)4()3()MMMM44441122113214()3()433(1)11327．·············10分7.（2018·苏北四市期末·21）已知矩阵1001A，4123B，若矩阵MBA，求矩阵M的逆矩阵1M．【答案】因为411041230123MBA，……………………………………5分所以13110101255M．………………………………………………………10分8.（2018·镇江市期末·21B）已知矩阵M＝21ab　　　，其中a，b均为实数，若点A（3，－1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3,5），求矩阵M的特征值。解：由题意，21ab　　　3135，即63315ab，解得32ab，所以M=2321令()(2)(1)60f，解得1或4，所以矩阵M的特征值为1和4