2018上海各区中考数学二模压轴题17、18、24、25题详解（三）

例2018年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C＝90°，DC＝5，以CD为半径的⊙C与以AB为半径的⊙B相交于点E、F，联结EF交BC于点G．（1）设BC与⊙C相交于点M，当BM＝AD时，求⊙B的半径；（2）设BC＝x，EF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当BC＝10时，点P为平面内一点，若⊙P与⊙C相交于点D、E，且以A、E、P、D为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P的面积（结果保留π）．图1动感体验请打开几何画板文件名“18虹口25”，拖动点B运动，可以体验到，△BEG、△CDH和△BDC保持相似．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，可以体验到，点P在DE的垂直平分线上，过△ADE的每个顶点画对边的平行线，存在三个梯形．思路点拨1．第（1）题平行四边形ABMD的边MD就是等腰直角三角形DMC的斜边．2．第（2）题就是三个相似三角形和两个垂直平分，不断地推算．3．第（3）题可以精准的画出示意图．因为△DBC是确定的，先画出圆C，得到点E；再得到圆B；然后得到点A．这个图形中所有线段的长都是确定的，特别的，需要计算△ABD的高AQ．4．点P在DE的垂直平分线CH上，过△ADE的三个顶点分别画对边的平行线，交直线CH于点P．点P有三个．图文解析（1）如图2，当BM＝AD时，由于BM//AD，所以四边形ABMD是平行四边形．因为CM＝CD＝5，所以DM＝52．此时⊙B的半径AB＝DM＝52．图2图3（2）如图3，作CH⊥DE，那么弦心距CH垂直平分弦DE．又因为连心线BC垂直平分公共弦EF，∠BCD＝90°，可得∠DBC＝∠DCH．在Rt△BCD中，CD＝5，BC＝x，所以BD＝225x．设sin∠DBC＝CDBD＝2525x＝m，那么BD＝225x＝5m．在Rt△CDH中，DH＝CD·sin∠DCH＝5m．所以DE＝2DH＝10m．在Rt△BEG中，BE＝BD－DE＝510mm，EG＝BE·sin∠DBC．所以EG＝5(10)mmm＝2510m＝22551025x＝22512525xx．所以y＝EF＝2EG＝221025025xx．定义域是x＞53．（3）⊙P的面积为254，(2985)，或(75305)．考点伸展定义域中x＝53可以这样计算：梯形ABCD的临界位置是矩形ABCD，此时BA＝DC＝5．由BD＝BE＋ED＝BA＋2DH，得225025525xx．整理，得x4＝75x2．所以x＝53．第（3）题的解题过程是这样的：首先确定点P在直线DE的垂直平分线上（经过点C）（如图4所示），再分三种情况计算PD2或PE2（即r2）．图4图5如图5，作BK⊥AD，垂足为K．作CH⊥DE于H．作AQ⊥BD于Q．在Rt△BCD中，CD＝5，BC＝10，所以BD＝55，sin∠DBC＝55．在Rt△CDH中，DH＝CDsin∠DCH＝555＝5．所以DE＝25，BE＝35．在Rt△ABK中，BA＝BE＝35，BK＝5，所以AK＝25．在Rt△ADQ中，AD＝1025，所以AQ＝5(1025)5＝252．所以DQ＝2AQ＝454．所以EQ＝DQ－DE＝45425＝254．下面，分三种情况讨论．如图6所示，过△ADE的每个顶点，分别画对边的平行线与直线CH交于点P，然后求PD2或PE2（即r2）．①当P1E//AD时，在Rt△P1EH中，由125HEPE，得15555222PEEH．此时⊙P的面积为254．②当P2A//DE时，四边形P2AQH是矩形．在Rt△P2EH中，EH＝5，P2H＝AQ＝252，所以P2E2＝22(5)(252)＝2985．此时⊙P的面积为(2985)．③当P3D//AE时，3254252DHEQPHAQ．所以35(252)535254PH．在Rt△P3DH中，P3D2＝22(5)(535)75305．此时⊙P的面积为(75305)．图6