数学奥林匹克初中训练模拟试题附答案(三)

数学奥林匹克初中训练题附答案（三）第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC.则△ABC的周长为().(A)35(B)40(C)81(D)842.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n的十进制表示中，数码1有()个.(A)50(B)90(C)99(D)1003.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)，且)x-6a-)(1x-6a-(13)x)(1x(1a2121=8a-3.则a的值是().(A)1(B)2(C)0或21(D)214.若不等式ax2+7x-12x+5对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是().(A)2≤x≤3(B)2x3(C)-1≤x≤1(D)-1x15.在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB、BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边△BCP、等边△CAQ，联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于().(A)3239(B)43(C)21(D)336.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有()个可以是这枚棋子出发的小方格.(A)6(B)8(C)9(D)10二、填空题(每小题7分，共28分)1.正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.则PB=.2.设a、b、c为整数，且对一切实数x，(x-a)(x-8)+1=(x-b)(x-c)恒成立.则a+b+c的值为.3.如图，在以O为圆心的两个同心圆图2中，MN为大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2，OP=1，MA=AB=BC，则△MBQ的面积为.4.从1，2，…，2006中，至少要取出个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为2008.第二试一、(20分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.二、(25分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD与内切圆相交于另一点P，联结PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求证:(1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD是等腰三角形.三、(25分)在]20082008[],20082[],20081[222中，有多少个不同的整数(其中，[x]表示不大于x的最大整数)?数学奥林匹克初中训练题参考答案第一试一、1.D.设BC=a，AC=b.则a2+b2=352=1225.①又Rt△AFE∽Rt△ACB，则FE/CB=AF/AC，.故12(a+b)=ab.由式①、②得(a+b)2=1225+24(a+b).解得a+b=49(a+b=-25舍去).所以，周长为84.2.C.因为n=(10-1)+(100-1)+…+(100…0(99个0)-1)=11…1(99个1)0-99=11…1(97个1)011，所以，n的十进制表示中，数码1有97+2=99(个).3.D.由Δ=36a2+4a0，得a0或a-1/9.由题意可设f(x)=x2+6ax-a=(x-x1)(x-x2).则(1+x1)(1+x2)=f(-1)=1-7a，(1-6a-x1)(1-6a-x2)=f(1-6a)=1-7a.所以，7a-13-a=8a-3.解得a=1/2或a=0(舍去).4.B.由题意知，不等式ax2+7x-12x+对-1≤a≤1恒成立，即关于a的不等x2a+5x-60对-1≤a≤1恒成立.令g(a)=x2a+5x-6.则g(-1)=-x2+5x-60，g(1)=x2+5x-60.解得2x3.5.A.如图，联结PQ.由题设得BC=1/2，AC=3/2，∠QAT=90°，∠QCP=150°，P、B、R三点共线.因为S△AQT=21AT·AQ=21AT·AC=43AT，而S△ART/S△ARB=AT/AB，所以，S△ART=43AT=S△AQT.从而，QT=RT.于是，S△PRT=21S△PQR=21(S△ABC+S△ABR+S△BCP+S△CAQ+S△CPQ-S△AQR)=3239.6.B.如图5，将3×5的棋盘黑白染色.图5中有8个黑色小方格和7个白色小方格，棋子每次移动都是黑白交替的，则7个白格不能作为出点.另一方面，如图6的8个黑格中的任一个都可以作为出发点.二、1.152/8.因为PE+PC=PE+PA，所以，当A、P、E三点共线时，PE+PA最小.如图，建立直角坐标系，设B为坐标原点，BA为x轴.则lBD:y=x，lAE:3x+5y=15.所以，P(15/8，15/8).故PB=152/8.2.20或28.因x2-(8+a)x+8a+1=x2-(b+c)x+bc恒成立，所以，8+a=b+c，8a+1=bc.消去a可得bc-8(b+c)=-63，即(b-8)(c-8)=1.因为b、c都是整数，所以，b-8=c-8=1或b-8=c-8=-1.从而，a+b+c=20或28.3.315/8.设MA=x.由MA·MB=MP·MQ，得x·2x=1×3.解得x=23.联结CN.在Rt△MCN中，MC=3x=323，MN=4.所以，NC=25，S△MCN=4153.又S△MQB/S△MCN=1/2，则S△MQB=8153.4.503.从1，2，…，2006中选出两个奇数，和为2008的共有如下501组:3+2005，5+2003，…，1003+1005.由于1与其中的任意一个奇数的和都不会等于2008，因此，至少要取出503个奇数，才能保证其中一定有两个数，它们的和为2008.第二试一、设z=w+a，y=w+a+b，x=w+a+b+c.则a、b、c≥0，且x+y+z+w=4w+3a+2b+c.故100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c)≥4(x+y+z+w).因此，x+y+z+w≤25.当x=y=z=25/3，w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最大值为25.又100=18w+12a+9b+5c=5(4w+3a+2b+c)-(2w+3a+b)≤5(x+y+z+w)，则x+y+z+w≥20.当x=20，y=z=w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最小值为20.二、(1)如图，联结DF.则△BDF是等腰直角三角形.于是，∠FPD=∠FDB=45°.故∠DPC=45°.又因为∠PDC=∠PFD，所以，△PFD∽△PDC.从而，PF/FD=PD/DC.①由∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，得△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE.于是，EP/DE=AP/AE=AP/AF=FP/DF.故由式①得EP/DE=PD/DC.(2)因为∠EPD=∠EDC，结合式②得△EPD’∽△EDC.所以，△EPD也是等腰三角形.三、设f(n)=0082n2.当n=2，3，…，1004时，有f(n)-f(n-1)=00821-2n1.而f(1)=0，f(1004)=10042/2008=502，以，从0到502的整数都能取到.当n=1005，1006，…，2008时，有f(n)-f(n-1)=00821-2n1.而f(1005)=10052/2008=(1004+1)2/2008=502+1+1/2008503，故]20082008[],20082[],20081[222是互不同的整数.从而，在]20082008[],20082[],20081[222中，共有503+1004=1507个不同的整数.