高中数学竞赛专题讲座---重要不等式

重要不等式专题讲座解答不等式问题往往没有固定的模式，证法因题而异，多种多样，不等式问题的趣味性和灵活性决定了它在数学竞赛中的地位。当然，熟悉并掌握一些常用的解决不等式问题的方法技巧是很有必要的，除比较法、放缩法、反证法、分析法、综合法等基本方法外，数学归纳法、变量代换（含局部、整体、三角、复数代换等）、函数方法（利用单调性、凸性、有界性及判别方法等）、构造法（构造恒等式、数列、函数等）、调整法等在数学竞赛中也是常用的。要多做题，多总结，融会贯通，举一反三，才能提高解决、研究不等式问题的能力.一.有关结论1、平均值不等式设12,,,naaa是非负实数，则1212.nnnaaaaaan2、柯西（Cauchy）不等式设,(1,2,)iiabRin，则222111.nnniiiiiiiabab等号成立当且仅当存在R，使,1,2,,.iibain上述两个不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是需要注意的。3．排序不等式设nnnjjjbbbaaa,,,,,212121是n,,2,1的一个排列，令1212012111122,,njjnjnnnnnSabababSabababSababab.则0.SSS证:若1,1knjjb,由111111111kknnjkjkkjnjnjSabababababab.设1111111111knknjkjkjkjnjnSabababababab，则111nnknjkjnSSabababab.01nkjaabbn可见按上述方法调整后，S的值不增，若此时在1S中12nj，仿上又可得2,S，最多经过2n步调整以后，若在2nS中22j，将其中的21j与12j互换，得到10nSS，则12nnSS，故1210.nSSSSS∴.0SS由于12nbbb，利用上面结论，得.SSSS综上，命题获证。排序不等式可简述为：“反序和≤乱序和≤同序和”。4．琴生不等式若xf是区间ba,上的凸函数，则对任意的点baxxxn,,,,21*()nN有12121().nnxxxffxfxfxnn等号当且仅当nxxx21时取得。证:当1n时，命题显然成立。假设kn时命题成立，当1kn时，令,11121kkxxxxkA则kAkAkA211.21121kAkxxxxkk又令12,kxxxBk11.kxkACk∴1()22BCfAffBfC11211[()()]2kkxkAxxxffkk1211111{[]}2kkkfxfxfxfxfAfAkk.121121Afkxfxfxfkk∴,11121kkxfxfxfxfkAf当且仅当121kkxxxx时取等号。综上所述，对一切正整数n，命题成立。另外，绝对值不等式()xyxyxy等也是较为常用的。二.典例解析例1设xR，求证：2223()(23)(23)6.xxfxxxxx证:令1tx，则22(1)22()()(2)(2).ttgtfxtt分两种情形：（1）2t时，2(1)9t.∴22(1)9()(2)26;tgtt（2）2t时，20t.2212()22tttgt12222tt2211222222tttttt4641622tt6.点评:注意到(1)6f，故先作代换1tx，使()fx的表达形式更简单，放缩较为大胆，但要注意0t时能取到符号，放缩不能过头，最后回到平均值不等式。例2记111111234212nSnn，求证：22.312nnSn证:1111232nS111242n111.122nnn欲证式21212.312nknnnk由柯西不等式，有222111,nnknknknk2211(1)(2)2nknnknnn2.31nn又由柯西不等式，有222222211111(111)(1)(2)2nknknnn111(1)(1)(2)(21)2nnnnnnn11()2nnn22.∴欲证不等式成立。点评:本题有一定的难度，第一步代数变形是基本功，将nS化为若干项之和，便于处理.第二、三步对柯西不等式的两种不同的运用堪称范例，值得回味。例3设222,,0,1xyzxyz，证明：331;1112xyzyzzxxy证:我们证明21xxyz①事实上，①1xxyz，而1xxyzx，故①成立.同理，22,11yzyzzxxy.因此，211xxyz，故原不等式左边成立.下面证明原不等式右边：22221112xxxyzyzx，记21tftt，则22211tftt，当01t时，0ft，因此ft在0,1t时是增函数，2222422112121tttttftt223221411ttttt.当01t时，0ft，因此ft在0,1t是上凸函数，由Jesen不等式，2233113xyzxxxyz.②又知22233xyzxyz,结合ft在0,1递增，∴2233333431133xyzxyz,③由②③可得23314xx，所以2211xxyzx332.综上所述，故原不等式获证.例4设,2nNn，(1,2,,)ixRin满足11,niix10.niix求证：111.22niixin证:记1(1,2,,)iaini，则12.naaa设1212,,,,,,,(1,stiiijjjstn且)stn是1,2,,n的一个排列，且使1212.0stiiijjjxxxxxx又设12,siiixxx12()tjjjxxx.则0,1，故1.2不妨设11220nnaxaxax（否则，若11220nnaxaxax，取(1,2,,)iixxin，此时12,,,nxxx仍满足题设，且11nniiiiiiaxax，不影响结论的一般性）。由排序不等式，有1122nnaxaxax121121tiisjnjaxaxaxax12121()()stiijnjjjaxxxaxxx1111().222naan即欲证不等式成立。点评:绝对值符号内的各项分正负来处理是一个关键，注意到111111(1)()2222naann，再通过适当的放缩即可证得结论。例5设1201nxxx，求证：221222321212(1)1.(1)(1)(1)nnnnnxxxxxxx证:注意到函数2(1)kxyx在(0,1)上是增函数，∴当0knxx时，1212(11).(1)(1)kkknkkknxxknxx故只需证明：2121(1)1(1)knkkxxx，其中(0,1).nxx即证211(1)knkkxxx.由于2(1)kkxxx111(1)(1)kkxxxx21(1)k1(1)kk.21(1)knkkxxx11(1)nkkk111n1.从而，欲证不等式成立。例6试确定所有的正常数,ab，使不等式22(xyyzzxayz22zx22)xybxyz对满足1xyz的非负数,,xyz均成立。解:全部解(,)(,9)abaa，其中04.a取111(,,)(,,)333xyz及11(,,)(,,0)22xyz，便得9ab及04.a下面证明：222222()(9)(04)xyyzzxaxyyzzxaxyza对满足1xyz的非负实数,,xyz都成立。只需证明关于,,xyz的齐次式：2222222()()()(9)()xyzxyyzzxaxyyzzxaxyzxyz(※)对满足1xyz的非负实数,,xyz都成立。令2()(),Pxyzxyyzzx222222,().QxyyzzxRxyzxyz(※)式左边2222223333332()5()()()()xyyzzxxyzxyzxyxyyzyzzxzx2222222222222()5()222xyyzzxxyzxyzxyyzzx222222222222()(4)()5()axyyzzxaxyyzzxxyzxyz.由柯西不等式，2222222222222()()()xyyzzxxzxyyzxyxzyzxyzxyz.又,,xyz均为非负实数，∴222222()xyyzzxxyxzyzxyzxyzxyzxyz.结合40a，∴(※)式左边222222()(4)()5()axyyzzxaxyzxyzxyzxyz222222()(9)()axyyzzxaxyzxyz.故(※)获证。综上，所求全部解(,)(,9)(04).abaaa点评:先取特殊值（如中值、边值）得参数的范围，再证明在这个范围内不等式成立，这是含参不等式的处理方法。例7正实数12naaa满足条件：12naaamn，222121naaan.证明：对于任意确定的(1)iin，如果iam，则2()ininma.证:由已知条件及柯西不等式，得01m.令(1,2,,)kkbmakn，显然有.21nbbb∵0ka，∴.kbm由已知，得nkknkkmnbb1221).1(,0又对于固定的i，有0ib，∴12iibbbib.又10nkkb，∴.21iniiibbbb由柯西不等式，得22221212()iibbbbbbi；.)(22122221inbbbbbbniinii两个不等式相加，得222221()()(1).niiikkibibinbnmbinini所以，.)1)((22iminbi由定义及0ib，有.22mbi从而，222()(1)min{,}.inimnibmin∴2inibn，即2()iniman.原命题获证。二.练习题1．设,,,1xyzRxyz，求证：211.(1)1xy证:欲证式1.(1)yzxyyz由柯西不等式，2()()yzyzxyyzxyzxyxyz①注意到2()()yzyzxyyzx222223yzxxyz