初中数学竞赛精品标准教程及练习32：中位线

初中数学竞赛精品标准教程及练习（32）中位线一、内容提要1.三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。2.中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。3.运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。4.中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5.有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。二、例题例1.已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。求证：PM＝PN证明：作ME⊥AB，NF⊥AC，垂足E，F∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝NF，根据三角形中位线性质PE＝21AC＝NF，PF＝21AB＝MEPE∥AC，PF∥AB∴∠PEB＝∠BAC＝∠PFC即∠PEM＝∠PFN∴△PEM≌△PFN∴PM＝PN例2.已知△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点。求MN的长。分析：N是BC的中点，若M是另一边中点，则可运用中位线的性质求MN的长，ABCMNPEF71012ABCDMN根据轴称性质作出△AMC的全等三角形即可。辅助线是：延长CM交AB于E（证明略）例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点求证：MN∥AB∥CD，MN＝21（AB－CD）分析一：∵M是AC中点，构造一个三角形，使N为另一边中点，以便运用中位线的性质。∴连结CN并延长交AB于E（如图1）证△BNE≌△DNC可得N是CE的中点。（证明略）分析二：图2与图1思路一样。分析三：直接选择△ABC，取BC中点P连结MP和NP，证明M，N，P三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。例4.如图已知：△ABC中，AD是角平分线，BE＝CF，M、N分别是BC和EF的中点求证：MN∥AD证明一：连结EC，取EC的中点P，连结PM、PNMP∥AB，MP＝21AB，NP∥AC，NP＝21AC∵BE＝CF，∴MP＝NP∴∠3=∠4=2MPN-180∠MPN＋∠BAC＝180（两边分平行的两个角相等或互补）∴∠1=∠2=2MPN-180，∠2=∠3∴NP∥AC∴MN∥AD证明二：连结并延长EM到G，使MG＝ME连结CG，FG则MN∥FG，△MCG≌△MBE∴CG＝BE＝CF∠B＝∠BCG∴AB∥CG，∠BAC＋∠FCG＝180∠CAD＝21（180－∠FCG）4321ABCDEFMNPMjABCGDEFN321NABCDEABCDEABCDMNMMNE∠CFG＝21（180－∠FCG）=∠CAD∴MN∥AD例5.已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分线，EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB的延长线于G求证：FD＝41CG证明要点是：延长GE交AC于H，可证E是GH的中点过点E作EM∥GC交HC于M，则M是HC的中点，EM∥GC，EM＝21GC由矩形EFDO可得FD＝EO＝21EM＝41GC三、练习321.已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点则①四边形EFGH是＿＿＿＿＿形②当AC＝BD时，四边形EFGH是＿＿＿形③当AC⊥BD时，四边形EFGH是＿＿形④当AC和BD＿＿＿＿＿＿＿＿时，四边形EFGH是正方形形。2.求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。3.已知AD是锐角三角形ABC的高，E，F，G分别是边BC，CA，AB的中点，证明顺次连结E，F，G，H所成的四边形是等腰梯形。4.已知：经过△ABC顶点A任作一直线a,过B，C两点作直线a的垂线段BB，和CC，，设M是BC的中点，求证：MB，＝MC，5.如图已知△ABC中，AD＝BE，DM∥EN∥BC求证BC＝DM＋EN6.如图已知：从平行四边形ABCD的各顶点向形外任一直线a作垂线段AE，BF，CG，DH。求证AE＋CG＝BF＋DH7.如图已知D是AB的中点，F是DE的中点，求证BC＝2CE8.平行四边形ABCD中，M，N分别是BC、CD的中点，求证AC平分MN9.已知△ABC中，D是边BC上的任一点，M，N，P，Q分别是BC，AD，AC，MN的中O21ABCGDEFHMABCDMENAoBCDaGHED1FF(7)ABCEDABCDEFGH点，求证直线PQ平分BD。10.等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，点O是AC和BD的交点，∠AOB＝60，P，Q，R分别是AO，BC，DO的中点，求证△PQR是等边三角形。11.已知：△ABC中，AD是高，AE是中线，且AD，AE三等分∠BAC，求证：△ABC是Rt△。12.已知：在锐角三角形ABC中，高AD和中线BE相交于O，∠BOD＝60，求证AD＝BE13.如图已知：四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F分别是AB、CD的中点，MN⊥EF求证：∠DMN＝∠CNM练习32参考答案：1.①平行四边形②菱形③矩形④相等且互相垂直2.取一条对角线的中点，利用三角形两边差小于第三边3.DG＝EF＝21AB4.过点M作a的垂线,必平分B，C，5.△ABC的中位线也是梯形BCD，D中位线6.同上，有公共中位线7.取BC中点G，连结DG8.连结BD交AC于O，易证四边形MCNO是平行四边形9.证四边形MPNS是平行四边形10.∵△COD是等边三角形，CR⊥DO，RQ＝21BC，……11.作EF⊥AC，EF＝ED＝21EC，∠C＝30，……12.作EF⊥BC于F，AD，BE都等于2EF13.过AC的中点O作MN的平行线，则OE＝OF，……DABCFEMNR60OABCDPQS(9)ABCDMNPR8ODABCMN