上海市金山区2015届高三上学期期末考试数学试题

上海市金山区2014—2015学年第一学期期末考试高三数学试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若集合M={5|2xyy，xR}，N={2|xyy，x≥–2}，则M∩N=▲．2．计算：112323limnnnnn=▲．3．不等式：11x的解是▲．4．如果复数z=i1i2b（bR）的实部与虚部相等，则z的共轭复数z=▲．5．方程：sinx+cosx=1在[0，π]上的解是▲．6．等差数列{an}中，a2=8，S10=185，则数列{an}的通项公式an=▲(nN*)．7．当a0，b0且a+b=2时，行列式ba11的值的最大值是▲．8．若122)2(xx的二项展开式中的常数项为m，则m=▲．9．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别是：(单位：克)125，124，121，123，127，则该样本的标准差是▲克．10．三棱锥O–ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45，则三棱锥O–ABC体积的最大值是▲．11．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k(其中k{5,6,7,8,9})的概率是52，则k=▲．12．已知点A(–3,–2)和圆C：(x–4)2+(y–8)2=9，一束光线从点A发出，射到直线l：y=x–1后反射(入射点为B)，反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是▲．13．如图所示，在长方体ABCD–EFGH中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内的一点，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值为12，那么点M到平面EFGH的距离是▲．AGDEHBCMF第13题图14．已知点P(x0,y0)在椭圆C：12222byax(ab0)上，如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：12020byyaxx．根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆L：191622yx，若Q(u，v)是椭圆L外一点(其中u，v为定值)，经过Q点作椭圆L的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是▲．[来源:学。科。网Z。X。X。K]二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．复数z1＝a+bi(a、bR，i为虚数单位)，z2＝–b+i，且|z1||z2|，则a的取值范围是(▲)．(A)a＞1(B)a＞0(C)–l＜a＜1(D)a＜–1或a＞116．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数有(▲)．(A)60个(B)48个(C)36个(D)24个17．设k1，f(x)=k(x–1)(xR)，在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图像与x轴交于A点，它的反函数y=f–1(x)的图像与y轴交于B点，并且这两个函数的图像相交于P点.已知四边形OAPB的面积是3，则实数k等于(▲)．(A)3(B)23(C)34(D)5618．若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是(▲)．(A)8(B)9(C)26(D)27三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)a、b、c分别是锐角△ABC的内角A、B、C的对边，向量p=(2–2sinA，cosA+sinA)，q=(sinA–cosA，1+sinA)，且p∥q．已知a=7，△ABC面积为233，求b、c的大小．20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图，在四棱锥P–ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=2，AD=3，∠ADC=45.已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：(1)异面直线PD与AC所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)三棱锥C–APD的体积．21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知a0且a1，数列{an}是首项与公比均为a的等比数列，数列{bn}满足bn=anlgan(nN*)．(1)若a=3，求数列{bn}的前n项和Sn；(2)若对于nN*，总有bnbn+1，求a的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．动点P与点(0,1)F的距离和它到直线:l1y的距离相等，记点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设点0,(Aaa2),动点T在曲线C上运动时，AT的最短距离为1a，求a的值以及取到最小值时点T的坐标；(3)设21,PP为曲线C的任意两点，满足21OPOP(O为原点)，试问直线21PP是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．PDCBA第20题图23．(本小题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设函数f(x)=2kax+(k–3)a–x(a0且a1)是定义域为R的奇函数．(1)求k值；(2)若f(2)0，试判断函数f(x)的单调性，并求使不等式f(x2–x)+f(tx+4)0恒成立的t的取值范围；(3)若f(2)=3，且g(x)=2x+2–x–2mf(x)在[2,+∞)上的最小值为–2，求m的值．[来源:学科网]上海市金山区2014—2015学年第一学期期末考试评分标准一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．[0,5]；2．31；3．0x1；4．1–i；5．2或0；6．3n+2；7．08．7920；9．2；10．322；11．7；12．10；13．22；14．1916vyux二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．C；16．B；17．B；18．D三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)解：AAApsincos,sin22，AAAqsin1,cossin，又p‖q(2–2sinA)(1+sinA)–(cosA+sinA)(sinA–cosA)=0，即：03sin42A又A为锐角，则3sin2A，所以∠A=60…………………………………………6分因为△ABC面积为233，所以21bcsinA=233，即bc=6，又a=7，所以7=b2+c2–2bccosA，b2+c2=13，解之得：23cb或32cb………………………………………………………………12分20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．解：(1)过点C作CF∥AB交AD于点F，延长BC至E，使得CE=AD，连接DE，则AC∥DE，所以∠PDE就是异面直线PD与AC所成的角或其补角，………………2分因为∠ADC=45，所以FD=2，从而BC=AF=1，且DE=AC=5，AE=20，PE=21，PD=10，在△PDE中，1023cosPDE，所以，异面直线PD与AC所成角的大小为1023arccos………………………………………………………………8分(2)因为VC–APD=VP–ACD，S△ACD=21CFAD=3PA⊥底面ABCD，三棱锥P–ACD的高为PA=1，VP–ACD=31S△ACDPA=1，所以，三棱锥C–APD的体积为1.………………………………………………………14分21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.(1)由已知有nna3，3lg3lgnnnnnaab3lg]33)1(33323[132nnnnnS，PDCBAFE3lg]33)1(323[3132nnnnnS，所以3lg)333333(21132nnnnnS，3lg34)12(3lg431nnnS.………………………………………………………7分(2)1nnbb即aananannlg)1(lg1.由0a且1a，得aananlg)1(lg，所以0)1(0lgnana或0)1(0lgnana即110nnaa或11nnaa对任意nN*成立，且2111nn，所以210a或1a……………………………………………14分[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学.科.网Z.X.X.K]22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．(1)根据抛物线的定义可知,动点P的轨迹是抛物线所以曲线C的方程为x2=4y；……………………………………………………………4分(2)设点T(x0,y0),x02=4y0(y0≥0)，[来源:学+科+网Z+X+X+K]|AT|=2020)()0(ayx=44)]2([20aay，a–20，则当y0=a–2时，|AT|取得最小值为21a，21a=a–1,a2–6a+5=0，a=5或a=1(舍去)，所以y0=a–2=3，x0=23，所以T坐标为(23,3)；……………………………10分(3)显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，k1，yxkxy42，解之得P1(k4,24k)，同理P2(–4k,4k2)，直线P1P2的斜率为kk21，直线P1P2方程为：)4(1422kxkkky整理得：k(y–4)+(k2–1)x=0，所以直线P1P2恒过点(0,4)………………………………16分23．(本小题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以2k+(k–3)=0，即k=1，检验知，符合条件………………………………………4分(2)f(x)=2(ax–a–x)(a0且a1)因为f(2)0，221aa0，又a0且a1，所以0a1因为y=ax单调递减，y=a–x单调递增，故f(x)在R上单调递减。……………………7分不等式化为f(x2–x)f(–tx–4)所以x2–x–tx–4，即x2+(t–1)x+40恒成立，所以Δ=(t–1)2–160，解得–3t5.……………………………………………………10分(3)因为f(2)=3，所以2(221aa)=3，即2a4–3a2–2=0，所以a=2……………12分所以g(x)＝2x＋2–x–4m(22x–22x)＝(22x–22x)2－4m(22x–22x)＋2.令t=22x–22x，由(1)可知t=22x–22x为增函数，因为x≥2，所以t≥32，令h(t)＝t2－4mt＋2＝(t–2m)2＋2–4m2(t≥32)…………………………………………15分若m≥34，当t＝2m时，h(t)min＝2－4m2＝–2，∴m＝1若m34，当t＝32时，h(t)min＝174－6m＝–2，解得m＝252434，舍去综上可知m＝1.…………………………………………………………………………18分