上海市浦东新区2016届高三上学期期末质量抽测数学试题

浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷（含答案）2016.1注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚.2.本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1．已知集合=3,2AxxBxx，则RACBI2,32．已知向量2,1,(1,)abmrr平行，则m123．关于,xy的一元二次方程组23122xyxy的系数矩阵23124．计算：1132lim32nnnnn35．若复数z满足1012iiz（i为虚数单位），则z56．1021x的二项展开式中的第八项为3960x7．某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30方向，与A相距6.0海里.船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距_____4.2______海里（精确到0.1海里）8．已知3cos(),,252，则sin3343109．如图，已知正方体1111DCBAABCD，21AA，E为棱1CC的中点，则AE与平面11BCCB所成的角为552arctan．（2arcsin3，5arccos3）（结果用反三角表示）10．已知函数()fx的图像与()2xgx的图像关于直线yx对称，令()(1)hxfx，则关于函数()hx有下列命题：①()hx的图像关于原点对称；②()hx的图像关于y轴对称；③()hx的最大值为0；④()hx在区间(1,1)上单调递增。其中正确命题的序号为____②③_____（写出所有正确命题的序号）。A1D1C1B1AEDCB11．有一列向量nauur：111222(,),(,),,(,),nnnaxyaxyaxyuruuruurL如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列。已知等差向量列nauur，满足1(20,13)aur，3(18,15)aur，那么这列向量nauur中模最小的向量的序号n__4或5__。12．已知32sin,1,fxxgxx则fx与gx图像交点的横坐标之和为__17___.二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13．如果0ab，那么下列不等式中不．正确的是…………………………………（B）()A11ab()B11ab()C2abb()D2aab14．设:1x且2y，:3xy，是成立的…………………………（A）()A充分非必要条件()B必要非充分条件()C充要条件()D既非充分又非必要条件15．方程2244kxyk表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是…………（D）()A4k()B4k()C4k()D04k16．甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是…………（C）()A14()B13()C12()D1617．直线0axby与圆220xyaxby的位置关系是………………………（B）()A相交()B相切()C相离()D不能确定18．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9xy，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则xy的值为……………………………………………………（A）()A4()B3()C2()D119．设函数()()fxxR满足()()sinfxfxx，当0x时，()0fx，则23()6f……………………………………………………………………………………（A）()A12()B32()C0()D1220．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于……………(D)()ASS2()BSS2()CSS4()DSS421．已知函数()fx存在反函数1()fx，若函数1yfx过点3,3，则函数1fx恒过点…………………………………………………………………………………………（B）()A4,3()B3,4()C3,2()D2,322．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的45处，再自由落下，又弹回到上一次高度的45处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为……………………………………………………………………………………………（C）()A50()B80()C90()D100[来源:Zxxk.Com]23．符合以下性质的函数称为“S函数”：①定义域为R，②()fx是奇函数，③()fxa（常数0a），④()fx在(0,)上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自变量0x，使0()fxd。下列四个函数中12()arctanafxx，22()1axxfxx，310()0010axxfxxaxx，421()21xxfxa中“S函数”的个数为…………（D）()A1个()B2个()C3个()D4个24．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O，其中,xyrur分别为点O到两个顶点的向量.若将点O到正六角星12个顶点的向量，都写成为axbyrur的形式，则ab的最大值为（C）()A3()B4()C5()D6三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．注：其他解法相应给分25．（本题满分8分）已知OC,OB,OA交与点O，OB//AD21，F,E分别为OC,BC的中点.求证：//DE平面AOC．证明：在OBC中，因为F,E分别为OC,BC的中点，所以1//2FEOB……………………………………………………………………………2分又因为1//2ADOB，所以由平行公理和等量代换知，//FEAD，ABODFEC所以四边形ADEF是平行四边形……………………………………………………4分所以AF//DE…………………………………………………………………………6分又因为AFÜ平面AOC，所以//DE平面AOC…………………………………8分26．（本题满分8分）已知函数()2sinfxx,将函数()yfx的图像向右平移6个单位，再把横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()ygx的图像，求函数()ygx的解析式，并写出它的单调递增区间．解：由()yfx，将函数()yfx的图像向右平移6个单位，得2sin()6yx……2分再把横坐标缩短到原的12（纵坐标不变），得到()2sin(2)6gxx。…………………4分由222,262kxkkZ，可得,63kxkkZ所以()ygx的单调递增区间为,,63kkkZ………………………………8分27．（本题满分8分，第1小题4分、第2小题4分）已知两个向量2221log,log,log,1axxbxrr（1）若abrr，求实数x的值；（2）求函数1(),,24fxabxrr的值域。解：（1）222,1logloglog0abxxxrrQ22log(log2)0xx22log0log2xx或经检验114xx或为所求的解；………………………………………………4分（2）由条件知2222()log(log2)log11fxxxx21,2,log2,14xxQ222log11,2log10,4xx所以值域为1,3。………………………………………………………………8分28．（本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)已知数列na的前n项的和23122nSnn，（1）求na的通项公式na；（2）当2n时，nnaa1恒成立，求的取值范围.解:（1）QnSnn21232231nSSannn2n…………………………………………2分当1n时也成立,11a23nan（2）nnaa12313nn)1(32313nnn设nb)1(32313nnnnnbb1nnn34313)1(32313nnn132313nnnn0nb的最小值为3282b,328.29．（本题满分14分，第1小题4分、第2小题5分、第3小题5分）在平面直角坐标系xOy中，对于点),(00yxP、直线:l0cbyax，我们称0022axbycab为点),(00yxP到直线:l0cbyax的方向距离。（1）设椭圆1422yx上的任意一点),(yxP到直线02:,02:21yxlyxl的方向距离分别为21、，求21的取值范围。（2）设点)0,(tE、)0,(tF到直线l：02sin2cosyx的方向距离分别为1、2，试问是否存在实数t，对任意的都有121成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由。（3）已知直线l：0nymx和椭圆E：12222byax（0ba），设椭圆E的两个焦点21,FF到直线l的方向距离分别为1、2满足221b，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较AB的长与ab的大小。解答：（1）由点),(yxP在椭圆1422yx上，所以4122xy由题意521yx、522yx，于是5425422221xyx………………2分[来源:学科网ZXXK]又22x得402x，即545421…………………………………………4分(1,0)A(1,0)B1D2D3DiD1nDCOxyiLiP（也可以先求出585)4(2222221yx，再利用基本不等式易得545421）（2）假设存在实数t，满足题设，由题意221sin4cos2cost222sin4cos2cost，于是1sin4cos)2cos)(2cos(2221tt………………………………………………6分0cos)3(sin4coscos4222222tt对任意的都成立只要032t即可，所以3t[来源:学科网ZXXK]故存在实数t，3t，对任意的都有121成立。……………………………9分（学生通过联想，判断直线02sin2cosyx是椭圆1422yx的切线，又证明221b从而得到3t也给分）（3）设21,FF的坐标分别为)0,(c、)0,(c，于是222bac211mnmc、221mnmc于是22222211bmcmn2222ambn又)0,(mnA，),0(nB即2222||nmnAB……………………………………………12分所以222222222222)(2baabbaambmbanmn综上ABab…………………………………………………………………………14分30．（本题满分6分）如图，点(1,0)A、(1,0)B，点C在x轴正半轴上，过线段BC的n等分点iD作与BC垂直的射线il，在il上的动点P使APB取得最大值的位置记作iP（1,2,3,,1inL）。是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数2n，点(1,2,,1)iPin都在这条