上海市徐汇区2015届高三上学期学习能力诊断（一模）数学（文）试题

2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）2015.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知3sin5，则cos2_____．2．若实数,xy满足4xy，则224xy的最小值为．3．设i是虚数单位，复数z满足(2)5iz，则z．4．函数2()2(0)fxxx的反函数1()fx．5．若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213yx的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．6．若正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数值表示）．7．已知无穷等比数列na的各项和为1，则首项1a的取值范围为．8．若全集UR，不等式11111xx的解集为A，则UAC=．9．设数列na的前n项和为nS，若11a，*111()22nnSanN，则na的通项公式为．10．已知圆22:(1)(1)2Cxy，方向向量(1,1)d的直线l过点(0,4)P，则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．11．如图：在梯形ABCD中，//ADBC且12ADBC，AC与BD相交于O，设ABa，ADb，用,ab表示BO，则BO=．12．已知函数()2sin(2)6fxx，将()yfx的图像向左平移（0）个单位后得到函数()ygx的图像，若()ygx的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则的值为．13．在平面直角坐标系中，对于函数yfx的图像上不重合的两点,AB，若,AB关于原点对称，则称点对,AB是函数yfx的一组“奇点对”（规定,AB与,BA是相同的“奇点对”）．函数2401202xxfxxxx的“奇点对”的组数是．14．设集合1234,,,|1,0,1,1,2,3,4iAxxxxxi，那么集合A中满足条件“123413xxxx”的元素个数为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．若12i是关于x的实系数一元二次方程20xbxc的一个复数根，则（）（A）2,3bc（B）2,1bc（C）2,1bc（D）2,3bc16．已知直线l和平面，无论直线l与平面具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线l（）（A）相交（B）平行（C）垂直（D）异面17．若函数)(log)(bxxfa的图象如右图所示，（其中ba,为常数）则函数baxgx)(的大致图象是（）18．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类*()nN，分别编号为1,2,,n，买家共有m名*(,)mNmn，分别编号为1,2,,m．若1,1,10,ijijaimjnij第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）（A）1112121222mmaaaaaa（B）1121112222mmaaaaaa（C）1112212212mmaaaaaa（D）1121122212mmaaaaaa三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．1111yox1111yox1111yox1111yox（A）（B）（C）（D）1111yox19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．已知函数RxxAxf),4sin()(，且23)125(f．（1）求A的值；（2）若23)()(ff，)2,0(，求)43(f．20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()22()xxfxkkR．（1）若函数()fx为奇函数，求k的值；（2）若函数()fx在,2上为减函数，求k的取值范围．[来源:学科网]21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，某传动装置由两个陀螺12,TT组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的13，且12,TT的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T的轴所成角2arctan3．若陀螺2T中圆锥的底面半径为0rr．（1）求陀螺2T的体积；（2）当陀螺2T转动一圈时，陀螺1T中圆锥底面圆周上一点P转动到点1P，求P与1P之间的距离．22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆22:14xy的右焦点为F，左顶点为R，点(2,1),(2,1)AB，O为坐标原点．（1）若P是椭圆上任意一点，OPmOAnOB，求22mn的值；（2）设Q是椭圆上任意一点，,0,2,5Stt，求QSQR的取值范围；（3）过F作斜率为k的直线l交椭圆于,CD两点，交y轴于点E，若1ECCF，2EDDF，试探究21是否为定值，说明理由．[来源:学科网ZXXK]23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知有穷数列}{na各项均不相等．．．．，将}{na的项从大到小重新排序后相应的项数．．．．．构成新数列}{np，称}{np为}{na的“序数列”．例如数列：321,,aaa满足231aaa，则其序数列}{np为2,3,1．(1)若,xyR，2yx且yx，写出数列：2,,122yxxy的序数列并说明理由；(2)求证：有穷数列}{na的序数列}{np为等差数列的充要条件是有穷数列}{na为单调数列；(3)若项数不少于5项的有穷数列}{nb、}{nc的通项公式分别是nnnb)53((*nN)，tnncn2(*nN)，且}{nb的序数列与}{nc的序数列相同，求实数t的取值范围．文科参考答案一、填空题：（每题4分）1.7252.163.54.2(2)xx5.2x6.arctan57.0,11,2U8.1,09.1*3,nnanN10.3211.2233abrr12.613.214.64二、选择题：（每题5分）15.A16.C17.D18.C三、解答题19、解：（1）553()sin()121242fA，3322A……………………..2’3A;……………………..4’（2）3()()3sin()3sin()442ff，2233[(sincos)(sincos)]222，……………………..6’36cos2，6cos4，……………………..8’又)2,0(，210sin1cos4，……………………..10’)43(f303sin()3sin4．……………………..12’20、解：（1）()()(1)(22)0xxfxfxk对一切的xR成立，……………………..4’所以1k……………………..6’（2）若0k，则函数()fx在,2单调递增（舍）……………………..8’当0k时，令20,4xt，……………………..9’则函数()kgttt在0,4上单调递减……………………..10’所以4k，……………………..13’即16k……………………..14’21、解：（1）设陀螺2T圆锥的高为h，则23rh，即32hr……………………..2’得陀螺2T圆柱的底面半径和高为3r……………………..3’231=3327rrVr柱……………………..5’23131=322Vrrr椎……………………..7’232954TVVVr柱椎……………………..8’（2）设陀螺1T圆锥底面圆心为O，则12PPr，……………………..10’得1124332PPrPOPOPr……………………..12’在1POP中，13332PPOPr……………………..14’22、解：（1）22,OPmOAnOBmnmn，得22,Pmnmn……………………..2’221mnmn，即2212mn……………………..4’（2）设,Qxy，则,2,QSQRtxyxy222214xxtxyxtx……………………..5’232124xtxt22132422433ttxx……………………..6’由2,5t，得24023t……………………..7’当2x时，QSQR最大值为0；……………………..8’[来源:Z§xx§k.Com]当243tx时，QSQR最小值为213t；……………………..9’∴综上所述：QSQR的取值范围为21,03t……………………..10’（3）由题，得(3,0)F，11(,)Cxy，22(,)Dxy，直线l的方程为(3)ykx，则(0,3)Ek，由2244(3)xyykx，得2222(41)834(31)0kxkxk，……………………..12’故21228341kxxk，21224(31)41kxxk……………………..13’由1ECCF得111(3)xx，即1113xx，同理2223xx……………………..14’所以12121233xxxx121212123()233()xxxxxxxx[来源:Zxxk.Com]22222222248(31)4141244(31)34141kkkkkkkk8即128为定值……………………..16’23、解：(1)因为2yx且yx，所以11)1()2(2xxxxy，……………………..2’11)1(2)2(222222xxxyx……………………..4’故数列2,,122yxxy的序数列2,1,3；……………………..5’(2)充分性：因为数列}{na是单调数列时，12naaaL或12naaaL，所以其序数列为1,2,,1,nnL或,1,,2,1nnL均为等差数列；……………………..8’必要性：当数列}{na的序数列为等差数列时，其序数列必为1,2,,1,nnL或,1,,2,1nnL，所以有12naaaL或12naaaL，所以数列}{na为单调数列；……………………..11’[来源:学_科_网Z_X_X_K](3)因为523)53(1nbbnnn，……………………..13’当1n时，易得12bb，当2n时，nnbb1，又因531b，33)53(3b，44)53(4b，314bbb，即2314nbbbbbL，故数列}{nb的序数列为2,3,1,4,,nL，……………………..16’所以对于数列}{nc有2522t，解得：54t……………………..18’