上海市徐汇区2016届高三上学期期末学习能力诊断数学（理）试题

2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学理科试卷2016.1一．填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x，则抛物线的标准方程是________________．2．方程253log2x的解是________________．3．设)N(3*nann，则数列}{na的各项和为________________．4．函数2cos3sincosyxxx的最小值为________________．5．若函数)(xf的图像与对数函数xy4log的图像关于直线0yx对称，则)(xf的解析式为)(xf________________．6．若函数2()4fxxxa的零点个数为4，则实数a的取值范围为________________．7．若Ryx,，且191xy，则xy的最小值是________________．8．若三条直线03yax,02yx和012yx相交于一点，则行列式11221131a的值为________________．9．322134xxx展开后各项系数的和等于________________．10．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，3AB，2CD，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是________________．11．已知函数2()1fxx的定义域为D，值域为1,0,1,，则这样的集合D最多有_______．个12．正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为________________．13．设12,xx是实系数一元二次方程20axbxc的两个根，若1x是虚数，212xx是实数，则24816321111112222221xxxxxxSxxxxxx=________________．[来源:学科网]14．已知O是锐角ABC的外心，1tan2A．若coscos2,sinsinBCABACmAOCB则实数m________________．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知向量a与b不平行，且0ab，则下列结论中正确的是-----------------------（）A．向量ab与ab垂直B．向量ab与a垂直C．向量ab与a垂直D．向量ab与ab平行[来源:学科网]16．设,ab为实数，则“01ab”是“1ba”的-----------------------------（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件17．设x、y均是实数，i是虚数单位，复数(2)(52)ixyxy的实部大于0，虚部不小于0，则复数zxyi＝＋在复平面上的点集用阴影表示为下图中的---------------------------------------（）18．设函数)(xfy的定义域为D，若对于任意1x、Dx2，当axx221时，恒有bxfxf2)()(21，则称点),(ba为函数)(xfy图像的对称中心．研究函数[来源:学科网ZXXK]3sin)(xxxf的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到1234030403120162016201620162016fffff的值为---------------（）A．4031B．4031C．8062D．8062三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）在三棱锥SABC中，,,SAABSAACACBC且2,13,29ACBCSB.求证SCBC并求三棱锥的体积SABCV．[来源:学_科_网]20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）SABC已知实数x满足242111103339xxx且22()loglog22xxfx（1）求实数x的取值范围；（2）求fx的最大值和最小值，并求此时x的值．21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，30ABkm，15BCkm，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO.设BAOx（弧度），排污管道的总长度为ykm．[来源:学,科,网]（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）①小题6分，第（2）②小题7分）给定数列na，记该数列前i项12,,,iaaa中的最大项为iA，即12max,,,iiAaaa；该数列后ni项12,,,iinaaa中的最小项为iB，即12min,,,iiinBaaa；(1,2,3,,1)iiidABin（1）对于数列：3,4,7,1，求出相应的123,,;ddd（2）若nS是数列na的前n项和，且对任意,nN有21(1),33nnSan其中为实数，0且1,13．①设2,3(1)nnba证明数列nb是等比数列；ABDPCO②若数列na对应的id满足1iidd对任意的正整数1,2,3,,2in恒成立，求实数的取值范围．23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）已知直线1l、2l与曲线22:10,0Wmxnymn分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线1:lyxa和2:lyxb将单位圆22:1Wxy分成长度相等的四段弧，求22ab的值；（2）若直线12:210,:210lyxlyx与圆22:4Wxy分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆22:12xWy的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科（理科）参考答案及评分标准2016.1三．填空题：(本题满分56分，每小题4分)１．xy82２．2x3．124．125．4xyxR6．04a7．168．09．2810．2311．912．1413．214．55二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．A16．Ｄ17．A18．Ｃ四．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）解：因为,SAABSAAC，ABACA,所以SA平面ABC,所以SABC.又ACBC.所以BC平面SAC.故SCBC.--------6分在ABC中，090,2,13ACBACBC,所以17AB.----8分又在SAB中，,17,29SAABABSB,所以23SA.---10分又因为SA平面ABC,所以1123921323323SABCV.----------12分20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）设213xu，则上式化为291010uu，119u，即211193x，24x---------------------------------------------------------------------6分（2）因为2222()logloglog1log222xxfxxx2222231log3log2log24xxx，---------------------------10分当23log2x，即22x时，min14y--------------------------------------------------12分当2log1x或2log2x，即2x或4x时，max0y．---------------------------14分SABC21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）由已知得1521515tancosyxx，即2sin1515cosxyx（其中04x）-----------------------------------------------6分（2）记2sincosxpx，则sincos2xpx，则有2211p，解得3p或3p---------------------------------------------------------------------10分由于0y，所以，当6x，即点O在CD中垂线上离点P距离为153153km处,y取得最小值1515340.98（km）．-------------------------------------------------14分22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）①小题6分，第（2）②小题7分）解：（1）1232,3,6.ddd---------------------------------------------------------------3分（2）①当1n时，11(1)1,aa所以11a---------------------------------4分当2n时，21(1),33nnSan1121(1),33nnSan两式相减得12,3nnaa所以12223(1)33(1)nnnbaa112,3(1)nnab又1123103(1)3(1)ba所以，数列nb是以313(1)为首项、为公比的等比数列.--------------------------9分②由①知：13123(1)3(1)nna；又1212max,,,min,,,iiiindaaaaaa，112123max,,,min,,,iiiindaaaaaa由于1223min,,,min,,,,iiniinaaaaaa所以由1iidd推得12121max,,,max,,,.iiaaaaaa所以1211max,,,iiaaaa对任意的正整数1,2,3,,2in恒成立.-----------13分因为1112,,iiiiiidaadaa所以121212131312(12)(1).3(1)3(1)iiiiiiiddaaa------14分由10iidd，得1231(1)03(1)i，但0且1，所以3103(1)解得113，所以1(,1)3--------------------16分23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）解：（1）由于直线1:lyxa和2:lyxb将单位圆22:1Wxy分成长度相等的四段弧，所以2ABCD，在等腰直角OAB中，圆心0,0O到直线1:lyxa的距离为2122ada，同理1b，222ab---------------------