浙江省教育局统一考试模拟试题-浙江师范大学第五届初等数学竞赛

浙江师范大学第五届初等数学竞赛暨浙江省教育局统一考试模拟试题本试卷分为第Ⅰ卷（共50分）和第Ⅱ卷（共100分）两部分，满分150分，考试时间为120分钟，请在答题纸上作答，在试卷上作答无效。第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）满足M｛a1,a2,a3,a4｝,且M∩｛a1,a2,a3｝={a1·a2}的集合M的个数是（A）1(B)2(C)3(D)4（2）设z的共轭复数是z，或z+z=4,z·z＝8，则zz等于（A）1（B）—i(C)±1(D)±i（3）函数y＝lncosx(-2π＜x＜2π)＝的图象是（4）设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为(A)3(B)2(C)1(D)-1（5）已知cos（α-6π）+sinα=的值是则)67sin(,354πα（A）—532（B）532(C)—54(D)54（6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(A)9π（B）10π(C)11π(D)12π（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（A）511（B）681（C）3061（D）4081（8）（X-31x）12展开式中的常数项为（A）-1320（B）1320（C）-220(D)220(9)设椭圆C1的离心率为135，焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（A）1342222yx(B)15132222yx(C)1432222yx(D)112132222yx（10）已知圆的方程为X2+Y2-6X-8Y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（A）106（B）206（C）306（D）406第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（11）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（1,3），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝(12)在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦距为2c，以O为圆心，A为半径作圆M，若过20aPc，作圆M的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率是．(13)若不等式｜3X-B｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为（14）在平面直角坐标系xOy中，若D表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D内随机地投一点，则落在E中的概率（15）以下是有关新课程改革的命题，请判断正误。（每空1分）1、新课程改革实际上就是新一轮的教材改革。（）2、新课程改革的核心目的是培养全面发展的人。（）3、新课程在小学阶段是以分科课程为主，在初中阶段是以综合课程为主。（）4、新课程把中小学教材由“国定制”改为“国审制”，形成了教材编写、出版、选用混乱的局面，不利于教师把握教学和考试的标准。（）5、《纲要》提出的要使学生“养成健康的审美情趣”的培养目标，只能在语文、美术、音乐课中才能实现，其他课程没有办法培养学生的审美情趣。（）(16)已知1,(0,0)xyxy,求1x+2y的最小值.解:∵1,(0,0)xyxy，∴令22cos,sinxy,则22221212tan2cot3cossinxy≥3+22.∴当且仅当21,22xy时，12xy的最小值为3+22.试说出：（1）此题涉及的主要知识点是(2分)（2）此题的解题过程用到的数学方法有（2分）（3）此题的解题思路体现的数学思想是（1分）三、综合题：本大题共6小题，共70分。（17）概率统计（本小题满分12分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望；（4分）(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)。（8分）.(18)空间几何(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC,E，F分别是BC,PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（4分）（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值。（8分）（19）函数论（本小题满分14分）已知函数1()ln(1),(1)nfxaxx其中n∈N*,a为常数.（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；（6分）（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1。（8分）（20）解析几何（本小题满分16分）已知倾斜角为45的直线l过点)2,1(A和点B，B在第一象限，23||AB。(1)求点B的坐标；（4分）（2）若直线l与双曲线1:222yaxC)0(a相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为)1,4(，求a的值；（6分）（3）对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称||PQ的最小值为P与线段AB的距离.已知点P在x轴上运动，写出点)0,(tP到线段AB的距离h关于t的函数关系式。（6分）（21）数学教学法（本小题满分10分，请做100字左右的解答）俗话说：一个良好的开端，等于成功的一半。因此，有经验的老师都非常重视每节课的“导言”设计。好的设计能吸引学生的注意力。但新课的引入既要注重数学本质，又要注意适度形式化，引入合情合理，要注意直观性、趣味性、启发性和铺垫性。请为高一数学上册第三章《数列》的第三节“等差数列求和”一节设计一个“导言”。（22）教师职业心理（本小题满分6分，请选择一题做60字左右的解答，两题都答按照第一题记分）1.有一位名人曾经说：如果把职业当成工作，那么你将一事无成，如果把职业当成事业，你将有所成就。你有怎么的理解？2.在你的学生时代，你对教育存在着哪一种遗憾，如果你作为老师，你会怎样让学生远离这种遗憾？