陕西省西安市交通大学附中2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）

2016-2017学年陕西省西安市交通大学附中高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题（每小题3分，共12个小题）．1．已知命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为（）A．∀x∈R，x＜2B．∃x∈R，x≤2C．∀x∈R，x≤2D．∃x∈R，x＜22．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=3xD．3．已知点A是椭圆上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=焦距，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．4．已知p：x2﹣4x﹣5＞0，q：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．D．（0，2]5．P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是其焦点，且=0，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2；q3：（￢p1）∨p2；q4：p1∨（￢p2）；其中为真命题的是（）A．q1和q3B．q2和q3C．q1和q4D．q2和q47．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4D．8．已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，则x的值为（）A．﹣4B．1C．10D．119．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8B．10C．6D．410．在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若=2x+3y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）A．B．2C．D．312．在正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的中心，=λ（2≤λ≤4），且平面ABE与直线PD交于F，=f（λ），则（）A．f（λ）=B．f（λ）=C．f（λ）=D．f（λ）=二．填空题（每小题4分，共4个小题）．13．已知双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则椭圆的离心率e=．14．已知双曲线的两个焦点F1（﹣，0），F2（，0），P是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是．15．已知直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），若l⊥m，则实数t的值是．16．设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=．三．解答题．（本大题共5小题．请将过程详写在答题卡上．）17．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为（3，0）和（﹣3，0）（1）求椭圆的标准方程．（2）若P为短轴的一个端点，求三角形F1PF2的面积．18．设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．19．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A，B两点．（1）若直线l的斜率为，求证：；（2）设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值．20．在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．21．已知直线l与椭圆交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为，向量=（ax1，by1），=（ax2，by2），且⊥，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）22．曲线（θ为参数）上一点P到点A（﹣2，0）、B（2，0）距离之和为．23．在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cosθ+sinθ）=2的距离为．解答题（共1小题，满分10分）24．己知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．2016-2017学年陕西省西安市交通大学附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分，共12个小题）．1．已知命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为（）A．∀x∈R，x＜2B．∃x∈R，x≤2C．∀x∈R，x≤2D．∃x∈R，x＜2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为：∃x∈R，x≤2．故选：B．2．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=3xD．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程可求得其渐近线方程，从而可得答案．【解答】解：∵双曲线=1的渐近线方程为：y=±x，∴双曲线为的渐近线方程为：y=±x=±x，故选A．3．已知点A是椭圆上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=焦距，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过焦点F的横坐标，代入椭圆方程，求出A的纵坐标，利用|AF|=焦距，结合椭圆中a，b，c的关系，求出椭圆的离心率．【解答】解：设F为椭圆的右焦点，且AF⊥x轴，所以F（c，0），则，解得y=±，因为，|AF|=焦距，所以，即b2=2ac，a2﹣c2=2ac，∴e2+2e﹣1=0，解得e=或e=﹣（舍去）故选C．4．已知p：x2﹣4x﹣5＞0，q：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．D．（0，2]【考点】二次函数的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解两个不等式可得命题p：x∈（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞），q：x∈（﹣∞，1﹣λ）∪（1+λ，+∞），若p是q的充分不必要条件，则，解得答案．【解答】解：解x2﹣4x﹣5＞0得：x∈（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞），解：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，得：x∈（﹣∞，1﹣λ）∪（1+λ，+∞），若p是q的充分不必要条件，则，解得：λ∈（0，2]，故选：D．5．P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是其焦点，且=0，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设||=m，||=n，由△F1PF2的面积是9算出mn=18，结合勾股定理得到m2+n2=（m﹣n）2+36=4c2，再用双曲线定义可得b2=9，从而得到b=3，进而得到a=7﹣3=4，利用平方关系算出c=5，最后可得该双曲线离心率的值．【解答】解：设||=m，||=n，由题意得∵=0，且△F1PF2的面积是9，∴mn=9，得mn=18∵Rt△PF1F2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2∴（m﹣n）2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣36，结合双曲线定义，得（m﹣n）2=4a2，∴4c2﹣36=4a2，化简整理得c2﹣a2=9，即b2=9可得b=3，结合a+b=7得a=4，所以c==5∴该双曲线的离心率为e==故选：B6．已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2；q3：（￢p1）∨p2；q4：p1∨（￢p2）；其中为真命题的是（）A．q1和q3B．q2和q3C．q1和q4D．q2和q4【考点】复合命题的真假．【分析】利用导数知识分别对函数y=2x﹣2﹣x，y=2x+2﹣x，的单调性，从而可判断p1，p2的真假，然后根据复合命题的真假关系即可判断【解答】解：∵y=2x﹣2﹣x，∴y′=ln2（2x+2﹣x）＞0恒成立，∴y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，即题p1为真命题∵y=2x+2﹣x，∴y′=ln2（2x﹣2﹣x），由y’＞0可得x＞0，即y=2x+2﹣x在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减∴p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数为假命题根据复合命题的真假关系可知，q1：p1∨p2为真命题q2：p1∧p2为假命题q3：（￢p1）∨p2为假命题q4：p1∨（￢p2）为真命题故选C7．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选B．8．已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，则x的值为（）A．﹣4B．1C．10D．11【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用平面向量的共面定理即可得出．【解答】解：∵点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，∴存在实数λ，μ使得等式成立，∴（x﹣4，﹣2，0）=λ（﹣2，2，﹣2）+μ（﹣1，6，﹣8），∴，消去λ，μ解得x=11．故选D．9．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8B．10C．6D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意画出图形，由已知结合抛物线的定义求得|AB|．【解答】解：如图，由抛物线y2=4x，得2p=4，p=2，∴|AB|=|AF|+|BF|=|AA′|+|BB′|=x1+x2+p，∵x1+x2=6，∴|AB|=8．故选：A．10．在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若=2x+3y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【分析】在平行六面体ABCD﹣EFGH中，=++，结合=2x+3y+3z，=﹣，求出x，y，z，即可得出结论．【解答】解：在平行六面体ABCD﹣EFGH中，=++，∵=2x+3y+3z，=﹣，∴2x=1，3y=1，3z=﹣1，∴x=，y=，z=，∴x+y+z=，故选：D11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）A．B．2C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，）∴解得：，则渐近线方程为y=x，即有点F到双曲线的渐进线的距离为d==，故选：A．12．在正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的中心，=λ（2≤λ≤4），且平面ABE与直线PD交于F，=f（λ），则（）A．f（λ）=B．f（λ）=C．f（λ）=D．f（λ）=【考点】平面向量的基本定理及其意义．【