八年级数学竞赛试题(十五)

2007学年第一学期八年级数学竞赛练习题3一、选择题:1.下列四个式子中与(a-3)a31相等的是()A.a3B.-a3C.-3aD.3a2.若a+b=4,a3+b3=28,则a2+b2的值是()A.14B.12C.10D.83.在⊿ABC中,∠C=900,∠A=150,AB=12,则⊿ABC的面积是()A.18B.12C.10D.84.已知方程x=ax+1有一个负根,且没有正根,则a的取值范围是()A.a＞-1B.a=1C.a≥1D.a＞15.⊿ABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则⊿ABC的面积是()A.30B.24C.16D.126.如果一条直线l经过不同的三点A(a,b),B(b,a),C(a-b,b-a),那么直线l经过第()象限.A.二、四B.一、三C.二、三、四D.一、三、四二、填空题：7.已知8=a，70=b，则6.5=______________.8.已知x=1-3,则x5-2x4-2x3+x2-2x+1的值是______________.9.某人将一本书的页码按1，2，3，…的顺序相加，其中有一个页码被多加了一次，结果得到一个错误的总和2005,则被多加的页码是。10.如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°,则∠DFE=．11.一个六边形六个内角都是1200,连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是___________.12.已知⊿ABC的三边长分别为AB=13,BC=5,CA=12,CT是∠ACB的内角平分线,⊿ABC关于直线CT的对称图形是⊿A1B1C1,⊿ABC和⊿A1B1C1,的公共面积是nm,m,n是互质的正整数,则m+n=__________.三、解答题：13.已知方程组27234axyxy中的系数a是不等式组513(1)131722aaaa的整数解,求代数式(x-y)(x2-xy+y2)的值.14.如图,已知∠ACB=900,AD平分∠CAB,BC=4,CD=23，求AC的长。15.将前15个正整数1，2，…，15分成五组，每组3个数。若每组中的3个数之和都相等，就称这种分组方案是一个“和谐划分”。例如，分法（1，8，15），（2，9，13），（3，10，11），（4，6，14），（5，7，12）就是一个和谐划分。试确定和谐划分共有几种，并列出每种和谐划分中的分组情况。16.2001年某月某日午夜，某校师生收看在莫斯科即将产生的2008年夏季奥林匹克运动会主办城市的电视现场直播，结果北京获得主办权．欣喜之余，他们发现：在场的师生人数恰是该天号数，男生数就是该月数，且师、生、月、日皆为质数，师生中男生最多，教师最少．经计算，学生数、月数、日数的和与教师数的差恰是2008年奥运会的届数，又知该届数不大于30．试问：（1）北京获2008年奥运会主办权是几月几日？（2）2008年奥运会是第几届？2007学年第一学期八年级数学竞赛练习题3参考答案一、选择题1.C2.C3.A4.A5.B6.A3.如图,作∠BAB1=300,交延长线于B1再作B1D⊥AB与D,易得B1D=6.二、填空题7.10ab8.39.5210.59011.1512.3179.解：设全书共n页，被多加的页码为x,(1≦x≦n)则有2)1(nn+x=2005∴2)1(nn+1≦2005≦2)1(nn+n即n2+n+2≦4010≦n(n+3)由于4010≈63，验算知n=62∴x=2005-26362=5210.提示：如图，连接AE、BD．△DBF、△EAF都是等腰直角三角形．∠EFB=6°，∠DFA=6°．∠DFE=∠AFB-∠EFB-∠DFA=39°．11.如图:12.如图,设⊿BCO和⊿B1CO的面积为5x,那么A1BO的面积为7x.则17x=12×5×12=30∴x=3017∴m+n=317.三、解答题13.由不等式组得2＜a＜4,∵a为整数,∴a=3从而解得x=-1,y=2.14.如图,过D作DE⊥AB于E,∵AD是角平分线,∠C=900∴易得⊿ADE≌⊿ADC则DE=DC=,BD=4-32=52BE=2,设AE=AC=x,则AB=162x,BE=162x-x=2解得x=3即AC=3.15.（1、8、15），（2、9、13），（3、10、11），（4、6、14），（5、7、12）；（1、8、15），（2、10、12），（3、7、14），（4、9、11），（5、6、13）；（1、9、14），（2、10、12），（3、6、15），（4、7、13），（5、8、11）；（1、9、14），（2、10、12），（3、8、13），（4、5、15），（6、7、11）；（1、10、13），（2、7、15），（3、9、12），（4、6、14），（5、8、11）；（1、10、13），（2、8、14），（3、6、15），（4、9、11），（5、7、12）；（1、10、13），（2、8、14），（3、9、12），（4、5、15），（6、7、11）；（1、11、12），（2、7、15），（3、8、13），（4、6、14），（5、9、10）；（1、11、12），（2、8、14），（3、6、15），（4、7、13），（5、9、10）；（1、11、12），（2、9、13），（3、7、14），（4、5、15），（6、8、10）；共有10种。16.设教师数为a，学生数为b，月数为c，日数为d，女生数为e，由题意得,,30,.abdcebbcdaaecb在①中，由a、b、c、d皆为质数，故a、b中必有偶质数2，因ab，故a=2．在②中，由c、b为质数，故c、e中必有一个是偶数，因为ca，所以e是偶数．将①代入③，得2b+c≤30．因为cb，所以3c2b+c≤30．由c10，知c=3、5、7．当c=3时，由2e3，无解．当c=5时，由2e5得e=4，b=9，不合题意．当c=7时，由2e7得e=4或6．若e=6时，得b=13，d=15，不合题意．若e=4时，得b=11，d=13．综合可知，a=2，b=11，c=7，d=13．所以b+c+d-a=29．故北京获2008年奥运会主办权是2001年7月13日；2008年奥运会是29届．23