上海徐汇区第四中学2017学年数学总复习-动点问题总结（含答案解析）

动点问题及练习题一．概念：“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点二．关键:动中求静.数学思想：分类函数方程数形结合转化三、类型：专题一：建立动点问题的函数解析式1、应用勾股定理建立函数解析式。2、应用比例式建立函数解析式。3、应用求图形面积的方法建立函数关系式。专题二：函数中因动点产生的相似三角形问题1.相似三角形的证明2.相似三角形的性质例题2.正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：RtRtABMMCN△∽△；（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时RtRtABMAMN△∽△，求此时x的值．DMABCN专题三：以圆为载体的动点问题例题3：如图,已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90o，∠C=60o，AD=3cm，BC=9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿A—D—C折线以1cm/s的速度向点C运动，⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以3cm/s的速度向点A运动，如果⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts请求出⊙O2与腰CD相切时t的值；练习题1.如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.(1)当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；(2)当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.①求S关于t的函数关系式；②(附加题)求S的最大值。EDCBAMP2.如图，在梯形ABCD中，354245ADBCADDCABB∥，，，，∠．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（09年济南中考）（1）求BC的长。（2）当MNAB∥时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．ADCBMN3.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3cm，OB＝4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）（1）求AB的长，过点P做PM⊥OA于M，求出P点的坐标（用t表示）（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？（4）若点P运动速度不变，改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值yAOMQPBx4..已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒，（1）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值（2）动点P从出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标xyOBAPCD5.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥AC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。PNMCBAOyx（1）P点的坐标为（，）；（用含x的代数式表示）（2）试求⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。6.在三角形ABC中,60,24,16OBBAcmBCcm.现有动点P从点A出发,沿射线AB向点B方向运动;动点Q从点C出发,沿射线CB也向点B方向运动.如果点P的速度是4cm/秒,点Q的速度是2cm/秒,它们同时出发,求:(1)几秒钟后,ΔPBQ的面积是ΔABC的面积的一半?(2)在第(1)问的前提下,P,Q两点之间的距离是多少?7.如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC∥OB，OC⊥BC，AC，OB的长是关于x的方程x2－(k+2)x+5=0的两个根，且S△AOC：S△BOC=1：5。（1）填空：0C=________，k=________；（2）求经过O，C，B三点的抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连结PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形。例题2.，（3）90BAMN°，要使ABMAMN△∽△，必须有AMABMNBM，由（1）知AMABMNMC，BMMC，当点M运动到BC的中点时，ABMAMN△∽△，此时2x．例题4,.解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．由题意可知：ED=t，BC=8，FD=2t-4，FC=2t．∵ED∥BC，∴△FED∽△FBC．∴FDEDFCBC．∴2428ttt．解得t=4．∴当t=4时，两点同时停止运动（2）∵ED=t，CF=2t，∴S=S△BCE+S△BCF=12×8×4+12×2t×t=16+t2．即S=16+t2．（0≤t≤4）；（3）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，∵EF2=222(24)51616tttt，EC2=222416tt，∴251616tt=216t．∴t=4或t=0（舍去）；②若EC=FC时，∵EC2=222416tt，FC2=4t2，∴216t=4t2．∴433t；③若EF=FC时，∵EF2=222(24)51616tttt，FC2=4t2，∴251616tt=4t2．∴t1=1683（舍去），t2=1683．∴当t的值为4，433，1683时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；（4）在Rt△BCF和Rt△CED中，∵∠BCD=∠CDE=90°，2BCCFCDED，∴Rt△BCF∽Rt△CED．∴∠BFC=∠CED．∵AD∥BC，∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC．∵BE2=21680tt，∴21680tt=64．∴t1=1683（舍去），t2=1683．∴当t=1683时，∠BEC=∠BFC．1.第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=3.∴SΔAPE=23第（2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论.P点从A→B→C一共用了12秒，走了12cm，Q点从A→B用了8秒，B→C用了2秒，所以t的取值范围是0≤t≤10不变量：P、Q点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以AP始终为：t+2如当8≤t≤10时，点Q所走的路程AQ=1×8+2（t－8）=2t-8①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=2t，QF=t23，AP=t+2，AG=1+2t，PG=t233.∴此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形，其面积为（PG+QF）×AG÷2S=2323t.当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动.设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=2t，DF=4-2t（总量减部分量），QF=t23，AP=t+2，BP=t-6（总量减部分量），CP=AC-AP=12-（t+2）=10-t（总量减部分量），PG=3)10(t，而BD=34，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积S=3343108352tt.当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动.设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则AQ=2t-8，CQ=AC-AQ=12-（2t-8）=20-2t，（难点）QF=(20-2t)3，CP=10-t，PG=3)10(t.∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=31503302332tt.②(附加题)当0≤t≤6时，S的最大值为237；当6≤t≤8时，S的最大值为36；当8≤t≤10时，S的最大值为36；所以当t=8时，S有最大值为36.2.解：（1）如图①，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形∴3KHAD．在RtABK△中，2sin454242AKAB．2cos454242BKAB在RtCDH△中，由勾股定理得，22543HC∴43310BCBKKHHC（2）如图②，过D作DGAB∥交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形∵MNAB∥∴MNDG∥∴3BGAD∴1037GC由题意知，当M、N运动到t秒时，102CNtCMt，．∵DGMN∥∴NMCDGC∠∠又CC∠∠∴MNCGDC△∽△∴CNCMCDCG即10257tt解得，5017t（3）分三种情况讨论：①当NCMC时，如图③，即102tt∴103t②当MNNC时，如图④，过N作NEMC于E∵90CCDHCNEC∠∠，∴NECDHC△∽△∴NCECDCHC即553tt∴258t（图①）ADCBKH（图②）ADCBGMN③当MNMC时，如图⑤，过M作MFCN于F点.1122FCNCt∵90CCMFCDHC∠∠，∴MFCDHC△∽△∴FCMCHCDC即1102235tt∴6017t综上所述，当103t、258t或6017t时，MNC△为等腰三角形3.（1）由题意知：BD=5，BQ=t，QC=4-t，DP=t，BP=5-t∵PQ⊥BC∴△BPQ∽△BDC∴BCBQBDBP即455tt∴920t当920t时，PQ⊥BC（2）过点P作PM⊥BC，垂足为M∴△BPM∽△BDC∴355PMt)5(53tPM∴tS21)5(53t=815)25(103t∴当52t时，S有最大值158．（3）①当BP=BQ时，tt5，∴25t②当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，此时，BE=2521tBP∴△BQE∽△BDC∴BDBQBCBE即5425tt∴1325t③当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F,此时，BF=221tBQ∴△BPF∽△BDC∴BDBPBCBF即5542tt∴1340t∴14013t，252t，32513t，均使△PBQ为等腰三角形．ADCBMN（图③）（图④）ADCBMNHE（图⑤）ADCBHNMF