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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 高中数学竞赛教材讲义 第八章 平面向量
第八章平面向量一、基础知识定义1既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如a.|a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量。定义2方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数0,使得a=.bf定理3平面向量的基本定理,若平面内的向量a,b不共线,则对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实数x,y,使得c=xa+yb,其中a,b称为一组基底。定义3向量的坐标,在直角坐标系中,取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任取一个向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x,y,使得c=xi+yi,则(x,y)叫做c坐标。定义4向量的数量积,若非零向量a,b的夹角为,则a,b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cosa,b,也称内积,其中|b|cos叫做b在a上的投影(注:投影可能为负值)。定理4平面向量的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),1.a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),2.λa=(λx1,λy1),a·(b+c)=a·b+a·c,3.a·b=x1x2+y1y2,cos(a,b)=222221212121yxyxyyxx(a,b0),4.a//bx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0.定义5若点P是直线P1P2上异于p1,p2的一点,则存在唯一实数λ,使21PPPP,λ叫P分21PP所成的比,若O为平面内任意一点,则121OPOPOP。由此可得若P1,P,P2的坐标分别为(x1,y1),(x,y),(x2,y2),则..1121212121yyyyxxxxyyyxxx定义6设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向,平移|a|=22kh个单位得到图形'F,这一过程叫做平移。设p(x,y)是F上任意一点,平移到'F上对应的点为)','('yxp,则kyyhxx''称为平移公式。定理5对于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),|a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|.【证明】因为|a|2·|b|2-|a·b|2=))((22222121yxyx-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0,又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0,所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:))((2222122221nnyyyxxx(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0,所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:))((2222122221nnyyyxxx(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。2)对于任意n个向量,a1,a2,…,an,有|a1,a2,…,an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。二、方向与例题1.向量定义和运算法则的运用。例1设O是正n边形A1A2…An的中心,求证:.21OOAOAOAn【证明】记nOAOAOAS21,若OS,则将正n边形绕中心O旋转n2后与原正n边形重合,所以S不变,这不可能,所以.OS例2给定△ABC,求证:G是△ABC重心的充要条件是.OGCGBGA【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为D,E,F,延长AD至P,使DP=GD,则.2GPGDAG又因为BC与GP互相平分,所以BPCG为平行四边形,所以BG//PC,所以.CPGB所以.OPGCPGCGCGBGA充分性。若OGCGBGA,延长AG交BC于D,使GP=AG,连结CP,则.PGGA因为OPCPGGC,则PCGB,所以GB//CP,所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3在凸四边形ABCD中,P和Q分别为对角线BD和AC的中点,求证:AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证明】如图所示,结结BQ,QD。因为DQPQDPBQPQBP,,所以2222)()(PQDPPQBPDQBQ=BPPQDPBP22222·PQDPPQ2=.2)(22222222PQDPBPPQDPBPPQDPBP①又因为,,,OQCQABAQABQBCQCBQ同理222222BQQCQABCBA,②222222QDQCQADACD,③由①,②,③可得)(24222222QDBQQACDBCBA2222224)22(2PQBDACPQBPAC。得证。2.证利用定理2证明共线。例4△ABC外心为O,垂心为H,重心为G。求证:O,G,H为共线,且OG:GH=1:2。【证明】首先AMOAAGOAOG32=)2(31)(31OCOBAOOAACABOA).(31OCOBOA其次设BO交外接圆于另一点E,则连结CE后得CE.BC又AHBC,所以AH//CE。又EAAB,CHAB,所以AHCE为平行四边形。所以,ECAH所以OCOBOAOCEOOAECOAAHOAOH,所以OGOH3,所以OG与OH共线,所以O,G,H共线。所以OG:GH=1:2。3.利用数量积证明垂直。例5给定非零向量a,b.求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.例6已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,D为AB中点,E为△ACD重心。求证:OECD。【证明】设cOCbOBaOA,,,则)(21baOD,.612131)(2131bacbacaOE又cbaCD)(21,所以cbabcaCDOE2121613121cabacba3131311214122231a·(b-c).(因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2)又因为AB=AC,OB=OC,所以OA为BC的中垂线。所以a·(b-c)=0.所以OECD。4.向量的坐标运算。例7已知四边形ABCD是正方形,BE//AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE。【证明】如图所示,以CD所在的直线为x轴,以C为原点建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A,B坐标分别为(-1,1)和(0,1),设E点的坐标为(x,y),则BE=(x,y-1),)1,1(AC,因为ACBE//,所以-x-(y-1)=0.又因为||||ACCE,所以x2+y2=2.由①,②解得.231,231yx所以.324||,231,2332AEAE设)1,'(xF,则)1,'(xCF。由CF和CE共线得.0231'231x所以)32('x,即F)1,32(,所以2||AF=4+2||32AE,所以AF=AE。三、基础训练题1.以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|,且a//b;②(a·b)·c=(a·c)·b;③若a·b=a·c,则b=c;④若a,b不共线,则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m,y=n;⑤若bCDaAB,,且a,b共线,则A,B,C,D共线;⑥a=(8,1)在b=(-3,4)上的投影为-4。2.已知正六边形ABCDEF,在下列表达式中:①ECCDBC;②DCBC2;③EDFE;④FAED2与AC,相等的有__________.3.已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,a·b=0,则|x|+|y|=__________.4.设s,t为非零实数,a,b为单位向量,若|sa+tb|=|ta-sb|,则a和b的夹角为__________.5.已知a,b不共线,MN=a+kb,MP=la+b,则“kl-1=0”是“M,N,P共线”的__________条件.6.在△ABC中,M是AC中点,N是AB的三等分点,且NABN2,BM与CN交于D,若BMBD,则λ=__________.7.已知OBOA,不共线,点C分AB所成的比为2,OBOAOC,则__________.8.已知OBaOA,=b,a·b=|a-b|=2,当△AOB面积最大时,a与b的夹角为__________.9.把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象,c=(1,-1),若ba,c·b=4,则b的坐标为__________.10.将向量a=(2,1)绕原点按逆时针方向旋转4得到向量b,则b的坐标为__________.11.在Rt△BAC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,试问PQ与BC的夹角取何值时CQBP的值最大?并求出这个最大值。12.在四边形ABCD中,dDAcCDbBCaAB,,,,如果a·b=b·c=c·d=d·a,试判断四边形ABCD的形状。四、高考水平训练题1.点O是平面上一定点,A,B,C是此平面上不共线的三个点,动点P满足.,0,||||ACACABABOAOP则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。2.在△ABC中,bBCaAB,,且a·b0,则△ABC的形状是__________.3.非零向量bOBaOA,,若点B关于OA所在直线对称的点为B1,则1OB=__________.4.若O为△ABC的内心,且OOAOCOBOCOB)2()(,则△ABC的形状为__________.5.设O点在△ABC内部,且OOCOBOA32,则△AOB与△AOC的面积比为__________.6.P是△ABC所在平面上一点,若PAPCPCPBPBPA,则P是△ABC的__________心.7.已知]),0[)(cos1,sin1(),sin,(cosOQOP,则|PQ|的取值范围是__________.8.已知a=(2,1),b=(λ,1),若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是__________.9.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则)(OCOBOA的最小值为__________.10.已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},集合N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},mjMN=__________.11.设G为△ABO的重心,过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q,已知OByOQOAxOP,,△OAB与△OPQ的面积分别为S和T,(1)求y=f(x)的解析式及定义域;(2)求ST的取值范围。12.已知两点M(-1,0),N(1,0),有一点P使得PNNMPNPMMNMP,,成公差小于零的等差数列。(1
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