物理竞赛模拟题（计算题）

二、根据广义相对论,光线在星体的引力场中会发生弯曲，在包含引力中心的平面内是一条在引力中心附近微弯的曲线．它距离引力中心最近的点,称为光线的近星点．通过近星点与引力中心的直线,是光线的对称轴．若在光线所在平面内选择引力中心为平面极坐标(r,φ)的原点,选取光线的对称轴为坐标极轴,则光线方程（光子的轨迹方程）为)sin1(cos/222aacGMr,G是万有引力常量,M是星体质量，c是光速,a是绝对值远小于1的参数．现在假设离地球80.0光年处有一星体,在它与地球连线的中点处有一白矮星．如果经过该白矮星两侧的星光对地球上的观测者所张的视角是71.8010弧度,试问此白矮星的质量是多少kg?已知G=116.67310m3/(kgs2)．三、足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的.已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70.试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内(含球门线上)？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向(垂直于横梁的轴线)的夹角小于来表示.不计空气及重力的影响.四、折射率1.50n、半径为R的透明半圆柱体放在空气中，其垂直于柱体轴线的横截面如图所示，图中O点为横截面与轴线的交点．光仅允许从半圆柱体的平面AB进入，一束足够宽的平行单色光沿垂直于圆柱轴的方向以入射角i射至AB整个平面上，其中有一部分入射光束能通过半圆柱体从圆柱面射出，这部分光束在入射到AB面上时沿y轴方向的长度用d表示．本题不考虑光线在透明圆柱体内经一次或多次反射后再射出柱体的复杂情形．１．当平行入射光的入射角i从0到90变化时，试求d的最小值mind和最大值maxd．OzyRABi２．在如图所示的平面内，求出射光束与柱面相交的圆弧对O点的张角与入射角i的关系．并求在掠入射时上述圆弧的位置．五、如图所示，一容器左侧装有活门1K，右侧装有活塞B，一厚度可以忽略的隔板M将容器隔成a、b两室，M上装有活门2K。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和活塞可用销钉固定，拔掉销钉即可在容器内左右平移，移动时不受摩擦作用且不漏气。整个容器置于压强为P0、温度为T0的大气中。初始时将活塞B用销钉固定在图示的位置，隔板M固定在容器PQ处，使a、b两室体积都等于V0；1K、2K关闭。此时，b室真空，a室装有一定量的空气（容器内外气体种类相同，且均可视为理想气体），其压强为4P0/5，温度为T0。已知1mol空气温度升高1K时内能的增量为CV，普适气体常量为R。1.现在打开1K，待容器内外压强相等时迅速关闭1K（假定此过程中处在容器内的气体与处在容器外的气体之间无热量交换），求达到平衡时，a室中气体的温度。2.接着打开2K，待a、b两室中气体达到平衡后，关闭2K。拔掉所有销钉，缓慢推动活塞B直至到过容器的PQ位置。求在推动活塞过程中，隔板对a室气体所作的功。已知在推动活塞过程中，气体的压强P与体积V之间的关系为VVCRCPV＝恒量。六、如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M的小球A，以一给定速度0v沿垂直于杆DB的方间与右端小球B作弹性碰撞。求刚碰后小球A,B,C,D的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。七、两惯性系S与S初始时刻完全重合，前者相对后者沿x轴正向以速度v高速运动．作为光源的自由质点静止于S系中，以恒定功率P向四周辐射(各向同性)光子．在S系中观察，辐射偏向于光源前部(即所谓的前灯效应)．1．在S系中观察，S系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以x轴为轴线的圆锥内．求该圆锥的半顶角．已知相对论速度变换关系为21xxxuuucvv，式中xu与xu分别为S与S系中测得的速度x分量，c为光速．2．求S系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量．八、磁场会影响电子的运动，从而使存在磁场时的电流与电压之间的关系偏离通常我们熟悉的欧姆定律，本题所要研究的问题即为一例．设xOy平面内有面密度（单位面积中的电子数）为n的二维电子气．平面内沿x轴正方向存在均匀电场EEi（i为x轴正方向单位矢量），垂直于平面的z方向存在均匀磁场，磁感应强度为BBk（k为z轴正方向单位矢量）．已知平面内的电子运动受到的散射阻力与速度v成正比，可等效地用一时间参量描述为mv，m为电子质量．试求在稳态沿x和y方向的电流密度（大小为垂直于电流方向单位长度上的电流）xj和yj，将结果用电子电荷量绝对值e、n、m、E、及表出，eBm．参考答案二、方程)sin1(cos/222aacGMr(1)是φ的偶函数,光线对极轴对称．光线在坐标原点左侧的情形a0,光线在坐标原点右侧的情形a0．右图是光线在原点左侧的情形,极轴Ox,白矮星在原点O．在(1)式中代入近星点坐标r=rm和φ=π,并注意2aa,就有m2rcGMa(2)经过白矮星两侧的星光对观测者所张的视角θS可以有不同的表达方式,相应地问题有不同的解法．若从白矮星到地球的距离为d,则可近似地写出drmS2(3)在(1)式中代入观测者的坐标r=d和φ=－π/2,有dcGMa222(4)由(2)与(4)式消去a,可以解出2m2cGMdr(5)把它代入(3)式,就得到dcGM2S8(6)也就是GdcM822S(7)其中173.78710md(8)在(7)式中代入数值就算出302.0710kgM(9)三、足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴线）.图中B表示横梁的横截面，O1为横梁的轴线；11OO为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球，O2为其球心；O点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点O的位置由直线O1OO2与水平线11OO的夹角表示.设足球射到横梁上时球心速度的大小为v0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v，方向用它与水平方向的夹角表示如图.以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy，y轴与O2OO1重合.以表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以表示碰后速度的方向与y轴(负方向)的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角的大小.以Fx表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，Fy表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大小，t表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有x0xxFtmmvv(1)yy0yFtmmvv(2)式中0xv、0yv、xv和yv分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小.根据摩擦定律有xyFF(3)由（1）、（2）、（3）式得0xxy0yvvvv(4)根据恢复系数的定义有y0yevv（5）因0x00ytanvv（6）xytanvv（7）由（4）、（5）、（6）、（7）各式得ee11tan1tan0（8）由图可知（9）若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有90(10)在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时90.由（9）式得tan90tan(11)因足球是沿水平方向射到横梁上的，故0，有ee11tan1tan1(12)这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置所满足的方程.解（12）式得22211114tan2eeeee(13)代入有关数据得tan1.6(14)即58(15)现要求球落在球门线内，故要求58(16)四、1．图中z轴垂直于AB面．考察平行光束中两条光线分别在AB面的C与C’点以入射角i射入透明圆柱时的情况．r为折射角．在圆柱体中两折射光线分别射达圆柱面的D和D’，对圆柱面其入射角分别为2i与2i．OCD中，O点与入射点C的距离Cy由正弦定理有cycyi2i2iOCAB'DCDzrr图12sinsin90CyRir2sincosCiyRr（１）同理，OCD中，O点与入射点C’的距离'Cy有'2sinsin90CyRir2'sincosCiyRr（2）改变入射角i时，折射角r与入射角2i与2i亦随之变化．在柱面上的入射角满足临界角20i时，发生全反射，临界角201arcsin41.8in（3）将2220iii分别代入(1)与(2)式，知2000'sincosCCiyyRr(4)即200sin22cosCidyRr(5)当Cy0Cy,和'0'CCyy时，入射光线进入柱体，经过折射后射达柱面时的入射角都大于临界角20i，由于发生全反射不能射出柱体．因折射角r随入射角i增大而增大．由（5）式知，0r时，即垂直入射0i时，d最小min202sin1.33dRiR(6)当i接近90时（掠入射），r接近41.8，将41.8r代入(5)式，得max1.79dR(7)2．由图２可见，是Oz轴与OD的夹角，'是Oz轴与OD’的夹角，发生全反射时有i20i20iOC'D'CDzrr'20ir(8)20'ir(9)20283.6i(10)由此可见与i无关，即独立于i．在掠入射时，90i，41.8r，由(8)式和(9)式得83.6(11)'0(12)五、1．设a室中原有气体为mol，打开K1后，有一部分空气进入a室，直到K1关闭时，a室中气体增加到mol，设a室中增加的mol气体在进入容器前的体积为V，气体进入a室的过程中，大气对这部分气体所作的功为0ApV（1）用T表示K1关闭后a室中气体达到平衡时的温度，则a室中气体内能增加量为0VUCTT（2）由热力学第一定律可知UA（3）由理想气体状态方程，有00045pVRT（4）00pVRT（5）00pVRT（6）由以上各式解出0554VVCRTTCR（7）2．K2打开后，a室中的气体向b室自由膨胀，因系统绝热又无外界做功，气体内能不变，所以温度不变（仍为T），而体积增大为原来的2倍．由状态方程知，气体压强变为012pp（8）关闭K2，两室中的气体状态相同，即abppp，abTTT，ab0VVV，且ab12（9）拔掉销钉后，缓慢推动活塞B，压缩气体的过程为绝热过程，达到最终状态时，设两室气体的压强、体积和温度分别为ap、bp、aV、bV、aT、bT，则有aaaaVVVVCRCRCCpVpV（10）bbbbVVVVCRCRCCpVpV（11）由于隔板与容器内壁无摩擦，故有abpp（12）由理想气体状态方程，则有aaaapVRT（13）bbbbpVRT（14）因ab0VVV（15）由（8）～（15）式可得ab012VVV（16）ab2VRCTTT（17）在推动活塞压缩气体这一绝热过程中，隔板对a室气体作的功W等于a室中气体内能的增加，即12VaWCTT（18）由（6）、（17）和（18）式得00212VRCVCWpVR（19）六、1．求刚碰撞后小球A、B、C、D的速度设刚碰撞后，小球A、B、C、D的速度分别为Av、Bv、Cv、Dv，并设它们的方向都与0v的方向相同．由于小球C位于由B、C、D三球组成的系统的质心处，所以小球C的速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒，故有0AC3MMmvvv（1）碰撞前后质点组的角动量守恒，有CD02mlmlvv（2）这里角动量的参考点设在与B球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因为