高中数学竞赛典型题目(一)

数学竞赛典型题目（一）1.(2004美国数学竞赛)设naaa,,,21是整数列,并且他们的最大公因子是1.令S是一个整数集,具有性质:（1）),,2,1(niSai（2）}),,2,1{,(njiSaaji,其中ji,可以相同（3）对于Syx,，若Syx，则Syx证明：S为全体整数的集合。2．(2004美国数学竞赛)cba,,是正实数，证明：3252525)()3)(3)(3(cbaccbbaa3．(2004加拿大数学竞赛)T为1002004的所有正约数的集合，求集合T的子集S中的最大可能的元素个数。其中S中没有两个元素，一个是另一个的倍数。4．(2004英国数学竞赛)证明：存在一个整数n满足下列条件：（1）n的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0；（2）2004能整除n.5．(2004英国数学竞赛)在0和1之间，用十进制表示为21.0aa的实数x满足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，)20041(20031kaaakkk，证明：x是有理数。6．(2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S，满足：如果Snm,，则Snmnm),(7．(2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点，并且无三点共线，S为通过任何两点的直线的集合。证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S中有奇数条直线分离这两点。8．(2004亚太地区数学竞赛)证明：)()!1(*2Nnnnn是偶数。9．(2004亚太地区数学竞赛)zyx,,是正实数，证明：)(9)2)(2)(2(222zxyzxyzyx10．（2003越南数学竞赛）函数f满足)0(2sin2cos)(cotxxxxf，令)11)(1()()(xxfxfxg，求)(xg在区间]1,1[的上最值。11．（2003越南数学竞赛）定义17612)(,91524)(2323xxxxqxxxxp，证明：（1）每个多项式都有三个不同的实根；（2）令A为)(xp的最大实根，B为)(xq的最大实根，证明：4322BA12．（2003越南数学竞赛）令F为所有满足RRf:且xxffxf)]2([)3(对任意Rx成立的函数f的集合。求最大实数A使得Axxf)(对所有RxFf,都成立。13．（2003美国数学竞赛）证明：对于每个n，我们可以找到一个n位数，他的所有数字都是奇数，并且可以被n5整除。14．（2003美国数学竞赛）一个凸多边形的所有边和所有对角线都是有理数，连接所有的对角线将多边形分成若干的小凸边形，证明：所有小多边形的边长都是有理数。15．（2003巴尔干数学竞赛）一个矩形ABCD的边,,nADmAB其中nm,是互质的奇数。矩形被分成了mn个单位正方形，对角线AC交单位正方形于点CAAAAAN,,,,321，证明：1223341(1)NNNACAAAAAAAAmn16．（2002美国数学竞赛）S为含有2002个元素的集合，并且P是Ｓ所有子集的集合，证明：对于任意)0(Pnn，我们可以将Ｐ的n个元素染成白色，其余染成黑色，使得Ｐ的任何两个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。17．（2002美国数学竞赛）求所有定义在实数集上的实值函数满足：)()()(22yyfxxfyxf对于任意实数yx,成立。18．（2001美国数学竞赛）非负实数zyx,,满足4222xyzzyx，证明：2xyzzxyzxyxyz19．（2002巴尔干数学竞赛）数列:}{na11213,30,20nnnaaaaa，求所有n使151nnaa是完全平方数。20．（2002巴尔干数学竞赛）Ｎ为正整数的集合，求所有NNf:使得2002220012)())((nnnfnff或21．（2009年协作体）求证：存在无穷多个棱长都是整数的长方体，使其满足每个面的面积都是两个数的平方和，并且其体积等于对角线的平方。22．（200１巴尔干数学竞赛）一个凸五边形的边长是有理数，并且５个角相等，证明：它是正五边形。23．（200１巴尔干数学竞赛）正实数cba,,满足cbaabc，证明：abccba322224．（200１加拿大数学竞赛）210,,AAA位于半径为１的圆上，并且21AA不是直径，点列}{nA定义如下：nA是321nnnAAA的外心，证明：13951,,,AAAA共线，并求所有的21,AA使得2001100110011AAAA是一个整数的５０次幂。25．（2002年越南数学竞赛）n为正整数，证明：方程21111211122xnxx有唯一的解1nx，且n时，4nx26．（2001年越南）对于实数ba,定义如下数列：.,,,210xxx由ax0，nnnxbxxsin1确定（1）若.1b证明：对于任何a，数列有极限;（2）若.2b证明：对于某些a，数列没有极限.27．（2000年越南）定义一个正实数序列：.,,,210xxxbx0，.1nnxccx求所有实数c，使得对所有),0(cb，数列存在极限.28．（2002波兰数学竞赛）k是正整数，数列kkaaakaannnn211,1:}{，证明：数列中的任两项互质。29．（2001波兰数学竞赛）数列nnnnxxxbxaxx1221,,:}{，一个数c如果在数列中出现的次数超过１次，就称它是“重复的”，证明：我们可以选择ba,使数列中有超过２０００个重复值，但没有无穷多个重复值。30．（2001波兰数学竞赛）ba,都是整数，使得ban2对所有非负整数n都是完全平方数，证明：0a31．（2001波兰数学竞赛）数列}{na定义如下：1a和2a为素数，na为200021nnaa的最大素因子。证明：数列}{na有界.32．（2001波兰数学竞赛）)(xp是一个多项式，次数为奇次，满足1)()1(22xpxp对所有x成立。证明：xxp)(33．（1978年国际数学竞赛）将集合}1978,,3,2,1{S分成六个不同的集合)6,5,4,3,2,1(iAi，即621AAAS且jiAA，求证：在某个iA中存在一个元素是其他两个元素的和或者一个元素是另一个元素的２倍。34．（1999年国际数学竞赛）设n是一个固定的正偶数.考虑一块nn的正方板，它被分成2n个单位正方格.板上两个不同的正方格，如果有一条公共边，就称它们为相邻的.将板上N个单位正方格作上标记，使得板上的任意正方格（作上标记的或者没有作上标记的）都与至少一个作上标记的正方格相邻.确定N的最小值.35．一个99方格能否被15个22方格和6个Ｌ型方格（由3个小方格组成）和3个单位方格覆盖？36．已知边长为n的正方形及其内部的2)1(n个点，其中无3点共线，证明：必存在3个点，以其为顶点的三角形的面积不大于21。37．已知x是循环节为p的纯循环小数，y是无限小数，其小数点后的第n位与数x小数点后的第nn位的数字相同，问：y是否是有理数？38．求所有的正整数ba,使得1,122aabbba39．11106,3,1:}{nnnnxxxxxx，证明：除第一项外，}{nx中无完全平方数。40．cbxaxxf2)(是实系数多项式，且对于任何整数)(,00xfx是完全平方数，证明：2)()(dexxf，其中de,是整数。41．能否找到含有1990个正整数的集合Ｓ，使（1）S中任意两个数互质；（2）S中任意)2(kk个数的和是合数。42．（1998年越南数学竞赛）是否存在)10(，使得有一个无穷的正数列}{na满足：,11nnnanaa),2,1(n.43．一个整数有限序列naaa,,,10称为一个二次序列，如果对于每个21},,,2,1{iaaniii；（1）证明：对于任何两个整数cb,，都存在一个正整数n和一个二次序列使caban,0；（2）求满足下列条件的最小正整数n，使1996,00naa44．zyx,,是正实数，求证：49))(1)(1)(1)((222xzzyyxzxyzxy45．用16个31矩形和一个11正方形拼成一个77正方形，求证：11正方形要么在大正方形中心，要么在大正方形边界上。46．环形公路上有n个加油站，每个加油站有汽油若干桶，n个站的总存油量够一辆汽车行驶一周，证明：必存在一站，从该站起，汽车逆时针行驶（每到一站装上所有汽油）可回到原站。47．正实数cba,,满足1abc，求证：23)(1)(1)(1333bacacbcba＋])()()([41222ababcacacbbcbca48．),,2,1(niRxi，证明：11222221121111nnxxxnxxxxx49．数列1,21:}{2211nnnnnaaaaaa，证明：11nkka50．求方程yxyx!!的正整数解51．求所有三次多项式)(xp使得对任意的非负实数yx,有)()()(ypxpyxp52．},|2{22ZyxyxS，对于整数a，若Sa3，证明：Sa53．53,1:}{10nnnnxxxxx，已知712,136,26,54321xxxx，求2007x54．（波兰）数列}{na由)1(012,10110nnanaaaann确定，证明：)0(0nan55．非负实数zyx,,满足1222zyx，证明：21111xyzzxyyzx56．圆周上有7个点，将他们两两连线，求这些直线在圆内部交点个数的最小值。57．是否存在一个能被103整除的正整数n，满足)(mod221nn58．正实数zyx,,满足zyxzxyzxy，证明：1111111222xzzyyx59．（2009塞尔维亚数学竞赛）求能被整除且数字和是的最小的正整数。60．对20072007方格染色，使得任意22方格中最多有2个方格被染色，问：最多可以将多少个方格染色？61．空间中有9个点，其中任意4点不共面。在这9个点间连接若干条线段，但图中不存在四面体，问：图中三角形最多多少个？62．（2009加拿大数学竞赛）由一个纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成个相等的扇形，且每个圆的个扇形涂成白色的，另个扇形涂成黑色的。将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合。求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有个扇形位于大圆的同色扇形上。63．（2009年印度尼西亚数学竞赛）n是大于１的奇数，证明：nnCn24|4864．（2009年英国数学竞赛）求定义在实数集上的函数使))()()()(()()(2233yfxyfxfyxyfxf65．（2009年英国数学竞赛）将不大于２５００的正整数写成二进制，其中以１开头的数字串所表示的整数的不同个数记为)(nb，求证：2500n时，39)(nb，并确定取等条件。66．一个圆桌周围有n个位置，第一个人任意坐下，第二个人从第一个人逆时针开始数2个位置坐下，即第二个人坐在第一个人旁边，第1k人从第k个人逆时针开始数1k个位置坐下。如果按照这种坐法，n个人恰好坐满n个位置，求n得所有可能值。67．（2009加拿大数学竞赛）已知为完全平方数，求所有的有序整数对。68．求所有的质数qp,使)55(|qppq69．求所有的质数qp,使)25)(25(|qqpppq70．数列nnnnaaakakaa23,25,:}{1221，其中k是常数。（1）求所有k使数列收敛；（2）若1k，求证：11212187nnnnnnaaaa