全国初中数学竞赛模拟试题十套

全国初中数学竞赛模拟试题（一）班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．设a、b、c为实数，abc≠0，且a＋b＝c，则bcacb2222－＋＋cabac2222－＋＋abcba2222－＋的值为（）（A）－1（B）1（C）2（D）32．设x，y，z为实数，且有x＞y＞z，那么下列式子中正确的是（）（A）x＋y＞y＋z（B）x－y＞y－z（C）xy＞yz（D）zx＞zy3．在△ABC中，BC＝3，内切圆半径r＝23，则cot2B＋cot2C的值为（）（A）23（B）32（C）233（D）324．已知a＝213213－＋－－，则aa－＋11的值为（）（A）3－2（B）3＋2（C）2－3（D）－2－35．已知M、N为平面上相异的两点，有m条直线过M而不过N（称为M类直线），有n条直线过N而不过M（称为N类直线）．若每条M类直线与每条N类直线均相交，又每条直线被其上的交点连同M点或N点分成若干段，则这m＋n条直线被分成的总段数是（）（A）2mn（B）(m＋1)(n＋1)（C）2(mn＋m＋n)（D）2(m＋1)(n＋1)6．若ab≠1，且有5a2＋2001a＋9＝0及9b2＋2001b＋5＝0，则ba的值是（）（A）59（B）95（C）－52001（D）－92001二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．化简11111122－＋－－＋－－＋＋aaaaaa（0＜｜a｜＜1）的结果是____________．2．梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），AD＝a，BC＝b，E，F分别是AD，BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为____________．3．如图，梯形ABCD的对角线交于O，过O作两底的平行线分别交两腰于M、N．若AB＝18，CD＝6，则MN的长为____________．4．设m2＋m－1＝0，则m3＋2m2＋1999＝__________．5．已知整数x、y满足15xy＝21x＋20y－13，则xy＝__________．6．已知x＝2323，y＝2323，那么22yxxy＋＝__________．ABCDMNO三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为安全并减少损失，需将油抽干后进行维修．现有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．需在3小时内将油罐抽干，至少需要多少台抽油泵一起抽？2．求二次函数y＝x2＋mx＋n在－3≤x≤－1的最大值和最小值．3．从1到n的n个连续自然数之积称为n的阶乘，记为n！（如5！＝5×4×3×2×1）．问：1999！的尾部有多少个连续的零？说明你的理由．全国初中数学竞赛模拟试题（二）班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．方程19＋x＋395＋x＝12的实数解个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）32．设a＝531，b＝341，c＝451，则a，b，c的大小关系是（）（A）a＜b＜c（B）a＜c＜b（C）c＜b＜a（D）b＜c＜a3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分如图．则a的取值范围是（）（A）－1≤a＜0（B）a＞－1（C）－1＜a＜0（D）a≤－14．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝120º，D点在BC边上，且BD＝1，DC＝2，则AD的值为（）（A）0.5（B）1（C）1.5（D）25．已知α、β是方程x2－7x＋8＝0的两根，且α＞β，则2＋3β2的值为（）（A）81(403－8517)（B）41(403－8517)（C）95（D）176．如果a，b，c是三个任意整数，那么2ba＋，2cb＋，2ac＋（）（A）都不是整数（B）至少有两个整数（C）至少有一个整数（D）都是整数二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．若a、b为整数，且x2－x－1是ax17＋bx16＋1的因式，则a＝__________．2．我国古算经《九章算术》上有一题：有一座方形的城（见右图），城的各边的正中央有城门，出南门正好20步的地方有一棵树．如果出北门走14步，然后折向东走1775步，刚好能望见这棵树，则城的每边的长为____________．3．设△ABC的内切圆⊙O切BC于点D，过D作直径DE，连AE，并延长交BC于点F．若BF＋CD＝1998，则BF＋2CD＝__________．4．如右图，设△ABC为正三角形，边长为1，P，Q，R分别在AB，BC，AC边上，且AR＝BP＝CQ＝31．连AQ，BR，CP两两相交得到△MNS，则△MNS的面积是____________．5．如图，正方形ABCD的边AB＝1，BD和AC都是以1为半径的圆弧．则无阴影的两部分面积之差为____________．6．若x2＋xy＋y＝14，y2＋xy＋x＝28，则x＋y的值为__________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，矩形ABCD中，DE＝BG，且∠BEC＝90º，EFGHABCDSS＝n（SABCD表示四边形ABCDOyx11ABCFD2014E1775ABCPQRMNSABCDSSS2S1ABCDEFGH的面积，下同），ABBC＝λ，已知n为自然数，λ为有理数．求证：λ也为自然数．2．A、B、C三人各有苹果若干，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的苹果数等于B、C原来各有的苹果数；依同法再由B给A，C现有个数，后由C给A、B现有个数．互送后每人恰好各有64个，问原来A、B、C三人各有多少个苹果？3．设S是由1，2，3，…，50中的若干个数组成的一个数集（数的集合），S中任两数之和不能被7整除．试问S中最多能由1，2，3，…，50中的几个数组成（S中含数的个数的最大值）？证明你的结论．全国初中数学竞赛模拟试题（三）班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．若1))(())(())((＝＋＋＋＋＋＋＋＋yxzyzxxzyxyzzyxzxy，则x、y、z的取值情况是（）（A）全为零（B）只有两个为零（C）只有一个为零（D）全不为零2．若x，y，x－y都是有理数，则x，y的值是（）（A）二者均为有理数（B）二者均为无理数（C）仅有一个为有理数（D）以上均有可能3．设n为自然数，则n2＋n＋2的整除情况是（）（A）既不能被2整除，也不能被5整除（B）能被2整除，但不能被5整除（C）不能被2整除，但能被5整除（D）既能被2整除，又能被5整除4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用一个半小时；若往返都坐车，全部行程则只需半个小时．如果往返都步行，那么需用的时间是（）（A）1小时（B）2小时（C）2.5小时（D）3小时5．如图，正方形ABCD及正方形AEFG，连接BE、CF、DG．则BE∶CF∶DG等于（）（A）1∶1∶1（B）1∶2∶1（C）1∶3∶1（D）1∶2∶16．如果a，b是质数，且a2－13a＋m＝0，b2－13b＋m＝0，那么ab＋ba的值为（）（A）22123（B）22125或2（C）22125（D）22123或2二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．已知实数x满足xxxx－＝－132，则x的取值范围是____________．2．如果对于一切实数x，有f(x＋1)＝x2＋3x＋5，则f(x－1)的解析式是________________．3．已知实数x、y满足条件2x2－6x＋y2＝0，则x2＋y2＋2x的最大值是____________．4．方程332＝3x－3y的有理数解x＝__________，y＝__________．5．如图，从直角△ABC的直角顶点C作斜边AB的三等分点的连线CE、CF．已知CE＝sinα，CF＝cosα（α为锐角），则AB＝__________．ABCDEFGCABEF6．用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于______________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，D为等边△ABC的BC边上一点，已知BD＝1，CD＝2，CH⊥AD于点H，连结BH．试证：∠BHD＝60º．2．已知函数y＝－21x2＋213的自变量在a≤x≤b时，2a≤y≤2b，试求a、b之值．3．一个自然数若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“聪明数”．例如，16＝52－32就是一个“聪明数”．试问：（1）1998是不是“聪明数”？说明理由．（2）从小到大排列，第1998个“聪明数”是哪一个自然数？ACBDH全国初中数学竞赛模拟试题（四）班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．99个连续自然数之和等于abcd．若a、b、c、d皆为质数，则a＋b＋c＋d的最小值等于（）（A）63（B）70（C）86（D）972．设P、Q分别是单位正方形BC、CD边上的点，且△APQ是正三角形，那么正三角形的边长为（）（A）26－（B）326＋（C）25－（D）325＋3．实数a、b、c两两不等，且三点的坐标分别为：A（a＋b，c），B（b＋c，a），C（c＋a，b），则这三点的位置关系是（）（A）组成钝角三角形（B）组成直角三角形（C）组成等边三角形（D）三点共线4．对任意给定的△ABC，设它的周长为l，外接圆半径为R，内切圆的半径为r，则（）（A）l＞R＋r（B）l≤R＋r（C）6l＜R＋r＜6l（D）以上均不对5．平面上有P、Q两点，以P为外心、Q为内心的三角形的数量为（）（A）只能画出一个（B）可以画出2个（C）最多画出3个（D）能画无数个6．如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（）（A）6（B）8（C）10（D）12二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，DC∶AB＝1∶2，MN∥BD且平分AC．若梯形ABCD的面积等于ab，S△AMN＝ba，则ab＋ba＝__________．2．不等式｜x＋7｜－｜x－2｜＜3的解是____________．3．若自然数n能使［n］整除n，则n的所有表达式为_____________．4．小李用5000元买了一年期的某种债券，到期后从本利和中支取2000元用于购物，把剩下的钱又买了这种一年期债券，若这种债券的利率不变，到期后得本利和为3498元，那么这种债券的年利率是__________．5．圆内接凸四边形ABCD的边AB∶BC∶CD∶DA＝1∶9∶9∶8，AC交BD于P，则S△PAB∶S△PBC∶S△PCD∶S△PDA＝____________．6．销售某种商品，如果单价上涨m%，则售出的数量就将减少150m．为了使该商品的销售总金额最大，那么m的值应该确定为____________．2134……BAMCDN三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，∠CAB＝∠ABD＝90º，AB＝AC＋BD，AD交BC于P，作⊙P使其与AB相切．试问：以AB为直径作出的⊙O与⊙P是相交？是内切？还是内含？请作出判断并加以证明．2．设α、β是整系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，且α2＋β2＜4，试求整数对（a，b）的所有可能值．3．a、b、c为互不相等的数，若以下三个等式中有任意两个等式成立，求证：第三个等式也成立．(b2＋bc＋c2)x2－bc(b＋c)x＋b2c2＝0；(c2＋ca＋a2)x2－ca(c＋a)x＋c2a2＝0；(a2＋ab＋b2)x2－ab(a＋b)x＋a2b2＝0．ABCDOP全国初中数学竞赛模拟试题（五）班级__________学号__________姓名_______