全国初中数学竞赛辅导---两圆的位置关系

第十四讲两圆的位置关系平面上两个半径不等的圆的位置关系可分为五种情况，如图3－44所示．利用两圆圆心距d及两圆半径R，r(R＞r)这三个量可以判定两圆位置关系：(当d=0时，两圆又称为同心圆．)对于半径相等的两个圆，在同一平面上的位置关系只有外离、外切、相交这三种情况．我们知道圆是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴．在由两圆组成的平面图形中，经过两圆圆心的直线即为图形的对称轴．利用轴对称的性质，很容易理解和掌握由两圆所组成的图形中的许多性质．如图3－45所示．⊙O1与⊙O2交于A，B两点，l为过O1，O2的直线，则l为两圆所组成的图形的对称轴．由轴对称性不难得到性质：连心线l垂直平分公共弦AB；外公切线长相等，即CD=EF；两条外公切线的夹角被l平分，即∠1=∠2．同样，两圆外切、外离、内切时的一些性质，也可以用轴对称性去理解和记忆．例1如图3－46所示．两圆内切于P点，大圆的弦AB切小圆于Q，连结AP，BP交小圆于C，D，连接PQ交CD于H．求证：(2)∠APQ=∠QPB．分析若能证出CD∥AB，则则∠QCD=∠2，由AB与小圆切于Q，可知∠AQC=∠1，只须证明∠QCD=∠AQC．证因为两圆内切于P点，过P作两圆的公切线EF，所以∠PDC=∠EPC，∠PBA=∠EPA，所以∠PDC=∠PBA，AB∥CD．从而(2)连结CQ，则∠QCD=∠2．因为AB切小圆于Q，所以∠1=∠AQC．因为AB∥CD，所以∠AQC=∠QCD=∠2，所以∠1=∠2，即∠APQ=∠QPB．说明两圆相切时，过切点作两圆的公切线，这是添辅助线常用的方法．例2如图3－47所示．⊙P的圆心P在⊙O上，⊙O的弦AB所在的直线与⊙p相切于C，若⊙P的半径为r，⊙O的半径为R．(1)求证：PA·PB=2Rr；(2)⊙O和⊙P的交点D，AD交⊙P于E，若⊙O和⊙P的面积之比为9∶4，且PA=10，PB=4.8，求DE和AE的长．由这四条线所构成的三角形能否相似，因此，连接PC，过A作直径AF，连接PF，来证明△PCB∽△APF．(2)由两圆面积为9∶4，可知两圆半径之比为3∶2，再利用2Rr=PA·PB=10·4.8可求出两圆半径．在Rt△PAC与Rt△PAF中，可利用勾股定理分别求出AC及PF的长．因为∠ADP=∠F，所以cos∠ADP=cos∠F=PF／AF．连接PE，在等腰△PED中，已知PD=PE=r及cos∠ADP，可求出DE，再利用切割线定理AC2=AE·AD，求出AE．证(1)过A作⊙O的直径AF，连接PF，PC．因为AF为⊙O的直径，所以∠FPA=90°．因为AC切⊙P于C，所以∠PCB=90°．又因为∠PBC=∠F，所以△PCB∽△APF，所以所以PA·PB=2Rr．(2)因为设R=3x，则r=2x．因为PA·PB=2Rr且PA=10，PB=4.8，所以10×4.8=12x2，所以x=2(舍负)，R=6，r=4．因为PA=10，PC=4，所以因为AF=2R=12，所以连接PD，PE，则PD=PE=r=4，由余弦定理有PE2=PD2+DE2-2PD·DEcos∠ADP，因为AC2=AE·AD=AE(AE+DE)，例3如图3－48所示．△ABC内接于⊙O，∠BAC=75°，∠AB，AC边分别交于D，E点，过A点作两圆的公切线，交DE延长线于P点．(1)求AB，AC的长；(2)求AP∶PD的值．分析(1)在△ABC中，已知两角及一边，则△ABC可解．(2)可证明DE∥BC，则△ADE∽△ABC，所以，AE∶AD=AC∶AB，再利用△PAD∽△PEA即可求得．解(1)因为∠C=60°，作AH⊥BC于H，所以因为∠BAC=75°，所以∠BAH=45°．因为∠B=45°，所以BH=AH．设(2)因为PA切两圆于A，所以∠B=∠SAC=∠AED，DE∥BC，△ADE∽△ABC，从而因为△PAE∽△PDA，所以例4如图3－49所示．在△ABC中，AB=AC，一个圆内切于△ABC的外接⊙O于M，并与AB，AC分别相切于P，Q两点．求证：线段PQ的中点是△ABC内切圆的圆心．分析注意到所给的图形是一个轴对称图形，△ABC的内心一定在对称轴AM上，AM与PQ的交点I即为PQ中点，只需证明BI是∠ABC的平分线即可．证AB=AC且都是⊙O的两条弦，所以O点到AB，AC的距离相等，则O在∠BAC的平分线上．又因为小圆与AB，AC都相切，所以小圆的圆心也在∠BAC的平分线上，所以小圆的圆心、O点及A点三点共线且该直线经过两圆切点M，AM为图形对称轴．设AM交PQ于I，由对称性可知，I为PQ中点．因为AM⊥PQ，AM⊥BC，所以Q∥BC．设∠APQ=2β，则∠ABC=∠APQ=2β．连结MP，MQ，MB，BI，为AM为⊙O直径，所以∠PBM=90°，所以P，B，M，I四点共圆．所以∠PBI=∠PMI=β，所以BI平分∠ABC．又因为AI平分∠BAC，所以I为△ABC内心，所以线段PQ的中点是△ABC内切圆的圆心．说明析所求证问题时，要学会将所证明题进行等价转化，转化为一个简单的易证的问题．另外，要充分利用图形的基本性质，如本题中图形的轴对称性在解题中发挥了很大作用．例5如图3－50所示．在△ABC的各边向外各作一个正三角形△BCD，△CAE，△ABF．求证：这三个正三角形的外接圆共点．分设ABF与正△ACE的外接圆的另一交点为O，要证明正△BCD的外接圆也过O点，即证明了O，B，D，C四点共圆．证△ABF与正△ACE的外接圆交于O点，连接OA，OB，OC．因为∠AOC+∠E=180°，∠AOB+∠F=180°，∠E=∠F=60°，所以AOC=∠AOB=120°，∠BOC=360°-∠AOC-∠AOB=120°．又因为∠D=60°，所以∠BOC+∠D=180°，所以O，B，D，C四点共圆，即正△BCD的外接圆也通过O点，于是△ABF，△ACE，△BCD的外接圆共点．说明若干个圆共点常用的方法主要有以下两个：(1)先证其中两圆相交(或相切)于某点，然后证明此点在其他圆上，即把共点圆的问题转化为共圆点的问题．(2)找出某一定点，然后证明该点在各个所设圆上(这定点一般为特殊点)．练习十四1．如图3－51所示．⊙O1与⊙O2相交于A点，过A作直线交⊙O1于C，交⊙O2于B．设M是O1O2的中点，N是BC的中点，求证：MN=MA．2．如图3－52所示．五个圆顺次相外切，并且都和直线l1，l2相切，如果已知大圆半径是18，最小圆半径是8，试求正中间⊙O3的半径．3．如图3－53所示．I为△ABC的内心，过B作⊙O1与直线CI相切于I点，又过C作⊙O2与直线BI相切干I点．求证：⊙O1，⊙O2的一个交点D与△ABC的外接圆共点．