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数学竞赛训练题(二)一、选择题1、若点P(x,y)在直线x+3y=3上移动,则函数f(x,y)=yx93的最小值等于()(A)51)427(5(B)71)927(7(C)71)916(7(D)31)25(32、满足20073xxy的正整数数对(x,y)()(A)只有一对(B)恰有有两对(C)至少有三对(D)不存在3、设集合M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射f:MN使对任意的x∈M,都有)()(xxfxfx是奇数,则这样的映射f的个数是()(A)45(B)27(C)15(D)114、设方程1)19cos()19sin(2007220072yx所表示的曲线是()(A)双曲线(B)焦点在x轴上的椭圆(C)焦点在y轴上的椭圆(D)以上答案都不正确5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是偶数,则称这个数为“奇和数”。那么,所有的三位数中,奇和数有()个。(A)100(B)120(C)160(D)2006、函数)(xfy与)(xgy有相同的定义域,且对定义域中的任何x,有1)()(,0)()(xgxgxfxf。若1)(xg的解集是}0|{xx,则函数)(1)()(2)(xfxgxfxF是()A、奇函数B、偶函数C、既是奇函数又是偶函数D、既不是奇函数又不是偶函数二、填空题7、边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形共有个。8、已知三个正整数x,y,z的最小公倍数是300,并且032023222zyxzyx,则方程组的解(x,y,z)=。9、已知关于x的实系数方程0222xx和0122mxx的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m的取值范围是。10、设平面上的向量yxba,,,满足关系yxbyxa2,,又设a与b的模为1,且互相垂直,则x与y的夹角为。11、设函数|2)(|)(|,1)(|)(|,|)(12010xfxfxfxfxxf,则函数)(2xf的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是。12、若正整数n恰有4个正约数,则称n为奇异数,例如6,8,10都是奇异数,那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个正整数中奇异数有个。三、解答题13、已知△ABC的三边长分别为a、b、c,且满足abc=).1)(1)(1(2cba(1)是否存在边长均为整数的△ABC?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由。(2)若a>1,b>1,c>1,求出△ABC周长的最小值。14、已知椭圆12222byax过定点A(1,0),且焦点在x轴上,椭圆与曲线|y|=x的交点为B、C。现有以A为焦点,过点B、C且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标为M(m,0)。当椭圆的离心率e满足1322e时,求实数m的取值范围。答案:1.(A)解:5321321321321321321322)31(233333321321533332132133339393)(xxxxxxxxxxxxxxxxyxxf=5153)427(53415,等号当且仅当xx3213321,即)2log1(533x时成立,故f(x,y)的最小值是51)427(52、(B)解:设2007,322xbxa,其中a,b均为自然数,则y=a+b,167322004))((222ababab。因为b+a与b-a有相同的奇偶性,且b+ab-a,所以21002abab或6334abab解得502500ba或170164ba3、(A)解:当x=-2时,x+f(x)+xf(x)=-2-f(-2)为奇数,则f(-2)可取1,3,5,有三种取法;当x=0时,x+f(x)+xf(x)=f(0)为奇数,则f(0)可取1,3,5,有3种取法;当x=1时,x+f(x)+xf(x)=1+2f(1)为奇数,则f(1)可取1,2,3,4,5,有5种取法。由乘法原理知,共有3×3×5=45个映射。4、(C)解:))(1360(19)1360(19)19(19191003100322007Nnn于是,19sin)1919360sin()19sin(2007n,同理19cos)19cos(2007。因为019sin19cos,故应选(C)5、(A)解:设三位数是321aaa,则321aaa+)()(10)(100312231123aaaaaaaaa。若31aa不进位,则和数的十位数必为偶数,不符合题意,所以31aa=11,13,15,17。因11=9+2=8+3=7+4=6+5,所以3,1aa取值有224A种可能;因13=9+4=8+5=7+6,所以3,1aa取值有223A种可能;因15=9+6=8+7,所以3,1aa取值有222A种可能;因17=9+8,所以3,1aa取值有22A种可能;由于22aa不能进位,所以2a只能取0,1,2,3,4。因此,满足条件的数共有:5(224A+223A+222A+22A)=100(个)6、(B)解:由,,12511,1256122111aa猜想:1251nna。由已知递推关系式,易用数学归纳法给予证明(略)于是,当n1时,).10(mod1na故)10(mod220066200721aaa因此,应选(B)7.(20,60,100)解:记方程组中的两个方程为(1),(2),消去x得038522zyzy,即0))(35(zyzy所以035zy,(3)或0zy,(4)由(1)、(3)得xzxy5,3,即x:y:z=1:3:5,于是,由已知条件,必有x=20,y=60,z=100;由(1)(4),得x=-y=-z,与已知条件矛盾。8.{m|-1m1或m=-3/2}解:易知方程0222xx的两根为.1,121ixix当0442m,即11m时,方程0122mxx有两个共轭的虚根4,3xx,且4,3xx的实部为1m,这时4321,,,xxxx在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形,它们共圆。当0442m,即1m或0m时,方程0122mxx有两个不等的实根4,3xx,则21,xx对应的点在以4,3xx对应的点为直径端点的圆上,该圆的方程为0))((243yxxxx,即0)(434322xxxxxyx,将1,24343xxmxx及21,xx对应点的坐标(1,±1)代入方程,即得23m。故m的取值范围是{m|-1m1或m=-3/2}9、)1010arccos(解:由已知,得32,3abybax,设x与y的夹角为,则1010||||cosyxyx,所以=)1010arccos(10、7解:函数)(2xfy的图象如图的实线部分所示。所求的封闭部分的面积为712212)62(21CDEABCDSS梯形11、xy3626解:当AQ=x时,设GQ与面BDE交于点N,作NM⊥BD于点M,联结QM交直线BC于点'P,取点'P为点P,知此时y=|MN|最小。建立如图1的空间直角坐标系,则Q(0,x,1)且△BDE所在平面上的点(x,y,z)满足x+y=z,故可令),,(0000yxyxN。由点N在QG上,知在(0,1)内存在λ使QN=λQG。代入消去λ得.)1(,120000xyxxyx从而,xxyxxx31,3100于是,).32,31,31(xxxxxN而点M在BD上,故可令).1,1,(11xxM由0BDMN,知).31(231xxx于是,.3626)31(26||xxxMNy12、20074012解:设iiax22,则iiixxa12,且120071iix,所以)()()(122006212007312007322007212007200721xxxxxxxxxxxxaaaABD2C1E-3-2-1O123xyxyzAQDQHQGQFGQBGQEBGQMQPCN200620062120062007312006200732200721200720062006200612xxxxxxxxxxxx=20072007200740122006213解:(1)不妨设整数a≥b≥c,显然c≥2。若c≥5,这时.51111cba由)1)(1)(1(2cbaabc,可得3)54()11)(11)(11(21cba。矛盾,故c只可能取2,3,4。当c=2时,)1)(1(baab,有.1ba又a≥b≥2,故无解。当c=3时,)1-)(1(43baab,即12)4)(4(ba又a≥b≥3,故14124ba或2464ba或3444ba解得516ba或610ba或78ba能构成三角形的只有a=8,b=7,c=3。当c=4时,同理解得a=9,b=4或a=6,b=5。能构成三角形的只有a=6,b=5,c=4。故存在三边长均为整数的△ABC,其三边长分别为4,5,6或3,7,8(2)由)1)(1)(1(2cbaabc,可得3]3)11()11()11([)11)(11)(11(21cbacba所以,3223111cba又9)111)(cbacba(,则有122322391119333cbacba故△ABC的周长最小值为122333,当且仅当12233cba时,取得此最小值。14.解:椭圆过定点A(1,0),则a=1,c=221,1beb∵1322e,∴330b,由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线y=x(x≥0)的交点,就必过椭圆与射线y=-x(x≥0)的交点解方程组1)0(222byxxxy,得21bbyx∵)33,0(b,∴210x设抛物线方程为:1,0),(22mpmxpy,又∵12mp,∴1),)(1(42mmxmy.)21,0(,xxy得0)1(4)1(42mmxmx.令)210,1(),1(4)1(4)(2xmmmxmxxf,∵)21,0()(在xf内有根且单调递增,∴0)1(4)1(241)21(0)1(4)0(mmmfmmf∴42342301mmm或,故4231m
本文标题:高中数学竞赛训练题二
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