高中数学竞赛训练题四

数学竞赛训练题四一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设函数,86)(2xxxf如果,15164)(2xxcbxf那么bc2的值等于（）A．3B．7C．-3D．-72．已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（）A．圆或椭圆B．椭圆或双曲线C．双曲线或抛物线D．抛物线或椭圆3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=nnxx313，则20051nnx=（）A，1B．-1C．2+3D．-2+34．已知)(xf]1,21[),1(2)21,0[,21xxxx，定义)()()),(()(11xfxfxffxfnn其中，则等于)51(2007f（）A．51B．53C．54D．525．已知双曲线12222byax)0,0(ba的右焦点为F,右准线为l,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交l于R,则（）A．QFRPFRB．QFRPFRC．QFRPFRD．的大小定与QFRPFR6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且AC，ABsinsin都是方程logbx=logb(4x-4)的根，则△ABC（）A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.8．如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}（2）a≠b,b≠c,c≠d,d≠a（3）a是a,b,c,d中的最小数那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.9．设,)65()32()21(xxxt则关于x的方程0)3)(2)(1(ttt的所有实数解之和为10．若对|x|≤1的一切x，t+1(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.11．边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为。12．对每一实数对(x,y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知a,b,c∈R+，且满足cbakabc≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。14．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。15．数列na定义如下：11a，且当2n时，211,1,nnnanana当为偶数时，当为奇数时．已知3019na，求正整数n．数学竞赛训练题四答案一、选择题1．设函数,86)(2xxxf如果,15164)(2xxcbxf那么bc2的值等于（）A．3B．7C．-3D．-7解：取11521616)2(,2bcfx有，而当31862xxx时有，所以32bc，故选C.2．已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（）A．圆或椭圆B．椭圆或双曲线C．双曲线或抛物线D．抛物线或椭圆解：把问题转化成动点P到S的距离与它到边BC的距离比值问题，容易的出答案D3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=nnxx313，则20051nnx=（）A，1B．-1C．2+3D．-2+3解：xn+1=nnxx33133，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+6),∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+3,x3=-2-3,x4=-1,x5=-2+3,x6=2-3,x7=1，……，∴有2005111nnxx。故选A。4．已知)(xf]1,21[),1(2)21,0[,21xxxx，定义)()()),(()(11xfxfxffxfnn其中，则等于)51(2007f（）A．51B．53C．54D．52解：计算)51(,51)51(,109)51(,52)51(,54)51(,53)51(,107)51(7654321fffffff107可知)51(nf是最小正周期为６的函数。即得)51()51(6nnff，所以)51()51(32007ff＝54，故选C.5．已知双曲线12222byax)0,0(ba的右焦点为F,右准线为l,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交l于R,则（）A．QFRPFRB．QFRPFRC．QFRPFRD．的大小定与QFRPFR解：分别做,,,,QPlQQlPP垂足分别为由相似三角形的性质，得QQQRPPPR，又有双曲线的第二定义，得.,QFPFRQPRQQQFePPPF则故FR平分.PFQ所以选C.6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且AC，ABsinsin都是方程logbx=logb(4x-4)的根，则△ABC（）A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形解：由logbx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=41，而sinA0，∴sinA=21。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。二、填空题7．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.答案：3。44||24)2)(2(020222yxyxyxyxyxyx由对称性只考虑y≥0，因为x0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。8．如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}（2）a≠b,b≠c,c≠d,d≠a（3）a是a,b,c,d中的最小数那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.答案：46个。abcd中恰有2个不同数字时，能组成C24=6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时，能组成1212121213CCCCC=16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时，能组成A44=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。9．设,)65()32()21(xxxt则关于x的方程0)3)(2)(1(ttt的所有实数解之和为答案：4解：令,)65()32()21()xxxxf（变形为,)65()64()63()(xxxxf可以发现函数)(xf是R上的减函数。又因为3)0(,2)1(,1)3(fff，从而关于x的方程0)3)(2)(1(ttt的解分别为0、1、3，10．若对|x|≤1的一切x，t+1(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.答案：2121,2113。解：①若t2-40，即t-2或t2，则由412ttx(|x|≤1)恒成立，得1412tt,t+1t2-4,t2-t-s0解得22112211t，从而2211t-2或2t2211。②若t2-4=0，则t=2符合题意。③若t2-40，即-2t2，则由412ttx(|x|≤1)恒成立，得1412tt，t+1-t2+4;t2+t-30，解得：t2131或t2131，从而2131t2。综上所述，t的取值范围是：2113t2121。11．边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为。解：设直角三角形的三边为a,b,22ab,则有ab21=a+b+22ab,b-a-ab2122ab,两边平方并整理有ab-4a-4b+8=0,(a-4)(b-4)=8,a,b都是正整数，a=5时b=12;a=6时b=8，所以满足题意的三角形有2个。12．对每一实数对(x,y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.答案：1或-2。令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1,y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y为正整数时，f(y+1)-f(y)0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)0，因此y∈N*时，f(y+1)=f(y)+y+2y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)t，由①得f(-3)=-1,f(-4)=1。下面证明：当整数t≤-4时，f(t)0，因t≤-4，故-(t+2)0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)0，即f(-5)-f(-4)0，f(-6)-f(-5)0，……，f(t+1)-f(t+2)0，f(t)-f(t+1)0相加得：f(t)-f(-4)0，因为：t≤4，故f(t)t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。三、解答题：13．已知a,b,c∈R+，且满足cbakabc≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2ab)2+(2ac2+2bc2)2=4ab+8ac+8bc+16cab。所以)()4()(22cbaabccbaba≥100)25()215(854223222cbacba。当a=b=2c0时等号成立。故k的最小值为100。14．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。解：以l为x轴，点P到l的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x,0)，点A(k,λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r,0),N(x+r,0),P(2,0),PQ=222x=1+r。所以x=±322rr,∴tan∠MAN=krxhohrxhohrxhohrxrokkkkAMANAMAN11322232)32(2)(22222222222rrkrkhrhhrrrrhhrkxrh，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=n1，所以m+rk322rr=nhr，∴m+(1-nh)r=322rrk，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以)3()1()2(2)1(2)1(322222knhknhmkm，由（1）（2）式，得m=0,k=0，由（3）式，得n=h1。由2m=h2+k2-3得h=±3，所以tan∠MAN=n1=h=±3。所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q(0,0),r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°。15．数列na定义如下：11a，且当2