高中数学竞赛训练题一

数学竞赛训练题一一．选择题（每小题6分，共36分）1．如果100,0,loglog3xyxyyx，144xy，那么xy的值是（）.203A.263B.243C.103D2.设函数)10()(||aaaxfx且，f（－2）＝9，则（）A.f（－2）＞f（－1）B.f（－1）＞f（－2）C.f（1）＞f（2）D.f（－2）＞f（2）3．已知二次函数()fx满足(1)(1),fxfx4(1)1,f1(2)5,f则(3)f的取值范围是()A.7(3)26fB.4(3)15fC.1(3)32fD.2825(3)33f4．如图1，设P为△ABC内一点，且2155APABAC，则△ABP的面积与△ABC的面积之比为()A.15B.25C.14D.135.设在xoy平面上，20yx，01x所围成图形的面积为13，则集合2(,)|||||1,(,)|||1MxyyxNxyyx的交集MN所表示图形的面积是()A.31B.23C.1D.436．方程20062007xy的正整数解(,)xy的组数是（）A．1组B.2组C.4组D.8组二．填空题（每小题9分，共54分）7．函数213()log(56)fxxx的单调递增区间为.8．已知02sin2sin5，则)1tan()1tan(00的值是_____________________.9.设na是一个等差数列，12119,3,aa记16nnnnAaaa，则nA的最小值为10．函数()fx满足(1)1003f，且对任意正整数n都有2(1)(2)()()fffnnfn，则(2006)f的值为11．.已知03030yxyxy,则x2+y2的最大值是12．对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1（n∈N＋）时，规定[x]＝n，则不等式045][36][42xx的解集为三．解答题（每小题20分，共60分）13．设集合A=12log(3)2xx，B=21axxa，若A∩B≠，求实数a的取值范围.14．三角形ABC的顶点C(,)xy的坐标满足不等式2282,3xyyy.边AB在横坐标轴上.如果已知点Q(0,1)与直线AV和BC的距离均为1,求三解形ABC面积的的最大值.15．设函数()yfx的定义域为R，当0x时，()1fx，且对任意实数,xy，有()()()fxyfxfy成立，数列na满足1(0)af且*11()().(2)nnfanNfa（1）求2008a的值；（2）若不等式12111(1)(1)(1)21nknaaa对一切*nN均成立，求k的最大值.数学竞赛训练题一参考答案1．B2.A3.C4.A5.B6.D7.(,2)8．23..9．5710．1200711．912．82x13.解:a∈(-1,0)∪(0,3)14．解：点C在如图的弓形区域内.设1200(,0),(,0),(,)AaBaCxy，由点Q到直线AC，BC的距离等于1得201010202020(2)20,(2)20.yaxayyaxay这说明12,aa是方程2000(2)20yaxay的2个根.所以220001212204[(2)]()4,(2)xyyABaaaay这里0[3,4]y.首先固定0y，欲使AB最大，需2209(1).xy因此当0[3,4]y为某一定值时，点C应位于弓形弧上.所以0000114262(3222ABCSAByyyy时取等号)115.(1)1,0,(1)(1)(0),(0)1.(0)1xyffffaf1212212112112112112解:令得当x0时,-x0,f(0)=f(x)f(-x)=1,0f(x)1.设x,xR,且xx,则x-x0,f(x-x)1,f(x)-f(x)=f(x)-f(x+x-x)=f(x)[1-f(x-x)]0.f(x)f(x),函数y=111200812121()(2)1.(12)(0),20.221,4015111(2)(1)(1)(1)21111(1)(1)(1)2111(1)(1nnnnnnnnnfafafananfaaaaanaknaaaaaanan+1nf(x)在R上是单调递减函数.1由f(a)=得f(-2-a)即由恒成立,知k恒成立.设F(n)=212121)(1),21()0111(1)(1)(1)(1)23(1)2(1)1,(1)()()4(1)12()(1)33.nnaanFnaaaFnnFnnFnFnFnnFnF则且又即22所以,k3,即k的最大值为333