数学竞赛模拟题(青石中学)

数学竞赛模拟题一、选择题。（每小题5分，共25分）1、若x,y,z满足方程组5x-3y+2z=3○1，则z的值为（）2x+4y-z=7○2x-11y+4z=3○3A、0B、—1C、1D、不存在2、设a,b,c的平均数为M，a,b的平均数为N，N、C的平均数为P，若abc，则M与P的大小关系是（）A、M=PB、MPC、MPD、不确定3、设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0，有两个不相等的实数根x1,x2，且x11x2，则a的取值范围是（）A、2275aB、a25C、a27D、211ao4、已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A、B、C、D、5、正方形ABCD，正方形BEFG和正方形PKRF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为2，则△DEK的面积为（）ABCDEFGRKPA、4B、3C、2D、2二、填空题。（每小题5分，共25分）6、若x—1x=—2，则x2—21x=.7、已知a,b,c,d都是质数，允许a,b,c,d相同，且a,b,c,d是35个连续正整数的和，则a+b+c+d的最小值为。8、已知a是方程x2-x-2012=0的一个正根，b为其另一个根，则b+20122012120121a=9、盒子里有10个球，每个球上写有1~10中的一个数字，不同的球上数字不同，其中两个球上的数的和可能是3，4……，19，现在从盒中随意取两个球，这两个球上的数的和，最有可能出现的是。10、正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为2，则点O到BE的距离OM=。DFECMOBA三、解答题。（每题10分，共计50分）11、某同学买某种铅笔，当他买了x支，付了y元（x、y都是整数）时，营业员说：“你要再多买10支，我就总共收你2元钱，这样相当于每买30支，你可节省2元钱。”求x和y的值。12、如图，点D、E分别是等边△ABC的边AB、AC上的点，且BD=AE，联结CD、BE交于点O，已知BO=2，CO=5，试求AO的长度。ABCEDO13、（A、B两题二选一）A、如图，OA是⊙O的半径，延长OA至B，使OA=AB，C是OA的中点，D是圆周上的点，连结CD、BD，求证：BD=2CD。DOCABB、如图，△ABC的三边满足关系BC=12（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H。求证：（1）AI=BD；（2）OI=12AE。ACDBOIEH14、设x=a+b—c，y=c+a—b,z=b+c—a,其中a,b,c是质数，且满足x2=y,z—y=2。问：a,b,c能否构成三角形的三边？如果能，求出三角形的面积；如果不能，请说明理由。15、已知，如图，直线y=—3x+43与x轴相交于点A，与直线y=3x相交于点P。（1）求点P的坐标。（2）请判断△OPA的形状并说明理由。（3）幼点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S，求：○1S与t之间的函数关系式。○2当t为何值时，s最大，并求s的最大值。PEFBOXY