第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)

第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案（非数学类）(150分钟)一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nnxaaa其中||1,a求lim.nnx（2）求21lim1xxxex。（3）设0s，求0(1,2,)sxnIexdxn。（4）设函数()ft有二阶连续导数，221,(,)rxygxyfr，求2222ggxy。（5）求直线10:0xylz与直线2213:421xyzl的距离。解：（1）22(1)(1)(1)nnxaaa=22(1)(1)(1)(1)/(1)nnxaaaaa=222(1)(1)(1)/(1)naaaa==12(1)/(1)naa12limlim(1)/(1)1/(1)nnnnxaaa(2)22211ln(1)ln(1)1lim1limlimxxxexxxxxxxxeeex令x=1/t,则原式=21(ln(1))1/(1)112(1)22000limlimlimttttttttteeee（3）0000112021011()()[|](1)!!sxnnsxnsxsxnnsxnnnnnIexdxxdexeedxssnnnnnnexdxIIIsssss（4）略（不难，难得写）（5）用参数方程求解。答案好像是14二、（15分）设函数()fx在(,)上具有二阶导数，并且()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfx且存在一点0x，使得0()0fx。证明：方程()0fx在(,)恰有两个实根。解：（简要过程）二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。将f(x)二阶泰勒展开'''2()()(0)(0)2ffxffxx因为二阶倒数大于0，所以lim()xfx，lim()xfx证明完成。三、（15分）设函数()yfx由参数方程22(1)()xtttyt所确定，其中()t具有二阶导数，曲线()yt与22132tuyedue在1t出相切，求函数()t。解：（这儿少了一个条件22dydx）由()yt与22132tuyedue在1t出相切得3(1)2e，'2(1)e'//()22dydydtdxdxdttt22dydx'3''()(2(/)(/)//(22)2)2()ddydxddydxdtdxdxdttttt=。。。上式可以得到一个微分方程，求解即可。四、（15分）设10,,nnnkkaSa证明：（1）当1时，级数1nnnaS收敛；（2）当1且()nsn时，级数1nnnaS发散。解：（1）na0,ns单调递增当1nna收敛时，1nnnaass，而1nas收敛，所以nnas收敛；当1nna发散时，limnns111nnnnssnnnssnnnassdxdxsssx所以，11111211nnnssnssnnnaaadxdxssxsx而1111111111lim11nsnsnssaasdxkxss，收敛于k。所以，1nnnas收敛。（2）limnns所以1nna发散，所以存在1k，使得112knnaa于是，111122212kkknnnnnkaaasss依此类推，可得存在121...kk使得112iiknknas成立所以112NknnaNs当n时，N所以1nnnas发散五、（15分）设l是过原点、方向为(,,)，（其中2221)的直线，均匀椭球2222221xyzabc，其中（0,cba密度为1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)的最大值和最小值。解：（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离2222222(1)(1)(1)222dxyzxyyzzx0xydVyzdVzxdV22222222223214(1)15ccccxyzabczzdVzdzdxdyabzdzabcc由轮换对称性，232344,1515xdVabcydVabc2232323444(1)(1)(1)151515IddVabcabcabc2222224[(1)(1)(1)]15abcabc（2）abc当1时，22max4()15Iabcab当1时，22min4()15Iabcbc六、(15分)设函数()x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分422()cxydxxdyxy的值为常数。（1）设L为正向闭曲线22(2)1,xy证明422()0;cxydxxdyxy（2）求函数()x；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()cxydxxdyxy。解：（1）L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段1L，2L，再从A，B作一曲线3L，使之包围原点。则有13234242422()2()2()LLLLLxydxxdyxydxxdyxydxxdyxyxyxy（2）令42422(),xyxPQxyxy由（1）知0QPxy，代入可得'42352()()()422xxyxxxxy上式将两边看做y的多项式，整理得2''4325()()()4(2)2yxxxxxyxx由此可得'()2xx'435()()42xxxxx解得：2()xx（3）取'L为424xy，方向为顺时针0QPxy'''424242242()2()2()12ccLLLxydxxdyxydxxdyxydxxdyxyxyxyxydxxdy（最后一步曲线积分略去，不知答案对不对）