《分数指数幂》教学设计

分数指数幂一、教学目标〖知识与技能〗（1）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。（2）会对根式、分数指数幂进行互化。（3）了解无理指数幂的概念〖过程与方法〗通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。〖情感、态度与价值观〗通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。二、教学重难点根式、分数指数幂的概念及其性质。三、教学情景设计1、复习讨论（1）根式的相关概念（2）整数指数幂：aaaan运算性质：nnnmnnmnmnmbaabaaaaa)(,)(,)1,,,0(*nNnma。2、问题情境设疑问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系5730)21(tP，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值。例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P分别为21，2)21(，3)21(，……当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(。设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？问题2：如何计算：322？分析：66236263332222222，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？3、分数指数幂实例引入：5102552510)(aaaa，4123443412)(aaaa问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a的形式2、4532,,cba如何表示？结论：规定)1,,,0(*nNnmaaanmnm问题3、正数的负分数指数幂是：)1,,,0?(*nNnmaanm分析：)1,,,0(1*00nNnmaaaaaanmnmnmnm如：3434515，)0(13232aaa。规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。特别指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．4、有理指数幂的运算性质：（1）ra·srraa),,0(Qsra；（2）rssraa)(),,0(Qsra；（3）srraaab)(),0,0(Qrba回到前面的问题，则有66531213121332222222，对于本节开头的问题2，考古学家正式利用有理数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P的值。例如当t=6000时，P=484.0)21()21(573600573600（精确到0.001），即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原来的48.4%。相信学生在真正掌握了分数指数幂的意义及运算性质后，都能够顺利解决。例1．求值：4352132)8116(,)21(,25,8例2．用分数指数幂的形式表示下列各式（a0）:①aa3②a2·3a2③3aa例3.计算下列各式（式中字母都是正数）（1）)3()6)(2(656131212132bababa（2）88341)(nm例4.计算下列各式（1）4325)12525(（2）)0(322aaaa例5.设cba、、均为不等于1的正数，且zyxcba，,0111zyx求abc的值。5、无理数指数幂结合教材P52实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数aa是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：参照以上过程，请你说明无理数指数幂32的含义。例3．22)51(5=点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．四、实战演习1.课本54页练习题2.化简：43232)(abbaba3.已知32121aa，求下列各式的值（1）1aa（2）22aa（3）21212323aaaa4.①481923②2331.5612③a2a•3a2(a0)答案：363;6;6a5五、归纳小结，强化思想本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．六、作业布置