秩亏自由网平差方法比较分析文档

§8-2秩亏自由网平差2学时在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为111ˆnttnnlxBV（8-2-1）式中系数阵B为列满秩矩阵，其秩为tBR)(。在最小二乘准则下得到的法方程为0ˆ11ttttbbWxN（8-2-2）由于其系数阵的秩为tBRPBBRNRTbb)()()(，所以bbN为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bbN1，因此具有唯一解，即WNxbb1ˆ（8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u，误差方程为111ˆnuunnlxBV（8-2-4）式中dtud为必要的起算数据个数。尽管增加了d个参数，但B的秩仍为必要观测个数，即utBR)(其中B为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d。组成法方程0ˆ11uuuuWxN（8-2-5）式中PlBWPBBNTuTuu1，，且utBRPBBRNRT)()()(，所以N也为秩亏阵，秩亏数为：tud（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。即有：测角网网测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,1d在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得xˆ的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二乘minPVVT和最小范数minˆˆxxT的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。一、直接解法根据广义逆理论，相容方程组0ˆ11uuuuWxN虽然具有无穷多组解，但它有唯一的最小范数解，即：WNxmr1ˆ（8-2-7）式中)(TTmNNNN，称为矩阵N的最小范数g逆。)(TNN称为矩阵TNN的g逆。代入（8-2-7）式得WNNNxTTr)(ˆ（8-2-8）上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最小范数解的公式。由于广义逆计算较为复杂，下面将公式做进一步改化：令2122211211NNNNNNNddtddtttuu（8-2-9）12111dtu（8-2-10）式中1N行满秩，即tNR)(1，于是有TTTTTTTNNNNNNNNNNNNNN221221112121（8-2-11）而tNRNNRT)()(111，所以)(11TNN为满秩方阵，按照降阶法求矩阵广义逆的方法，即：如果有矩阵)()(22)(21)(1211rnrmrrmrnrrrnmAAAAA其中1111)(ArAR，存在凯利逆，则有nmA的g逆000111rrnmAA（8-2-12）根据上式可得000000)()(1111111QNNNNTT（8-2-13）代入（8-2-8）式，得1111211121000ˆWQNWWQNNxTTT（8-2-14）或写成11111)(ˆWNNNxTT（8-2-15）未知参数的协因数阵为：11111111111111ˆˆ)(11NQNQNQNQQNQTTTWWTXX（8-2-16）二、附加条件法（伪观测值法）前面已提及，秩亏自由网平差就是在满足最小二乘minPVVT和最小范数minˆˆxxT的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，实际上就是求相容方程组0ˆ11uuuuWxN的最小范数解。附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了d个未知参数，因此在u个参数之间必定满足d个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入d个未知参数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。问题的关键是如何导出等价于minˆˆxxT的限制条件方程的具体形式。为叙述方便，我们先给出该限制条件方程，然后再推导平差计算公式，最后证明，在给定的限制条件方程下所求得的解，就是相容方程组0ˆ11uuuuWxN的最小范数解。设等价于约束条件minˆˆxxT的限制条件方程为0ˆ1uTudxS（8-2-17）式中，dSR)(且满足，0BSS称为附加阵。故秩亏自由网平差的函数模型为111ˆnuunnlxBV权阵为P0ˆ1uTudxS按照附有条件的间接平差可得法方程00ˆ0WKxSSNsT（8-2-18）式中PlBWPBBNTuTuu1，，且utBRPBBRNRT)()()(，唯一不同的是这里N为秩亏阵。为解决秩亏问题，将（8-2-18）中的第二式左乘S矩阵后，再加到第一组中得：00ˆ0WKxSSNsT（8-2-19）式中TSSNN，且uNR)(根据附有条件的间接平差原理，上式的解为WNSSNSKTs1)(（8-2-20）)(ˆ1sSKWNx（8-2-21）由于上述解是通过增加未知参数间满足的d个附加条件，按照附有条件的间接平差法而实现的，因此人们把此法称为附加条件法。但它又不同于经典的附有条件的间接平差法，其主要表现为：当S阵满足0BS时，必定有下式成立（证明从略）0sK（8-2-22）将（8-2-22）式代入（8-2-21）式，可得参数的解为PlBNWNxT11ˆ（8-2-23）现在只需证明，按（8-2-23）式求得的解PlBNWNxT11ˆ就是法方程0ˆ11uuuuWxN的最小范数解。为此只需证明1N是N的最小范数g逆中的一个即可，即只需证明1N满足以下两式：NNNNNNNNT111)(和（8-2-24）现证明如下：因为TSSNN，所以有ISSNNNNT)(11右乘S阵并展开，则有SSSSNNSNSNNT111而0PBSBNST，所以有SSSSNT)(1（8-2-25）由于dSSRT)(，存在逆阵，则有11)(SSSSNT（8-2-26）所以有TTTTSSSSISSNISSNNNN1111)()()(（8-2-27）NSSSNSNNNNT11)()(（8-2-28）因此（8-2-24）第一式得到验证。由（8-2-27）式得TTTTTTSSSSISSSSINN111)())(()(考虑到（8-2-26）式，则上式为NNNNNISSNINNTT1111)()(（8-2-29）（8-2-28）、（8-2-29）两式说明1N是N的最小范数g逆中的一个，因此按（8-2-23）式求得的xˆ一定是相容方程组0ˆ11uuuuWxN的最小范数解。三、精度评定单位权中误差估值的计算rPVVT0ˆ（8-2-30）式中PVVT可以直接计算，也可以按下式求得xWPllPVVTTTˆ（8-2-31）未知参数的协因数阵为TTTXXPBNQPBNQ)(11ˆˆ1111NNNNPBQPBNT)()(1111NSSINNSSNNTT111NSSNNT（8-2-32）实际计算时，通常要对S进行标准化，设标准化后的S阵用G表示，即不仅要求满足0BG，还要求满足IGGT，此时（8-2-26）式变成GGGGGNT11)(，转置后有TTGNG1，因此（8-2-32）式将变成如下形式TXXGGNQ1ˆˆ（8-2-33）四、两点说明①若将0sK代入法方程，则法方程变为0ˆ)0ˆPlBxSSPBBWxNTTT或（上式相当于下列误差方程联合组成的法方程xGVlxBVTgˆˆ上式的第一式为观测值L的误差方程，第二式可以看作是为求最小范数解而人为增设的d个虚拟误差方程，因此附加条件法又叫伪观测值法。②该方法的特点就是用求凯利逆替代了求广义逆，因此便于计算和计算机编程，但首要条件是必须知道附加阵S，关于附加阵的确定问题，本教材不准备作详细讨论，下面直接给出常见控制网的附加阵S及其标准化后的矩阵G的具体形式：水准网（设有u个点）1111TS；1111TG（8-2-34）测边网（设有m个点）000202010123101010010101mmmTxyxyxyS（8-2-35）式中00iiyx、为第I点的近似坐标0002020101223(1)101010(1)010101(1mmmTxyxyxyRmmG（8-2-36）式中00iiyx、是以中心坐标为原点的第I点的近似坐标，它们的计算如下：miiixmxx10001，miiiymyy10001测角网（设有m个点）只需在（8-2-35）式中增加一行0002020101mmyxyxyx元素、在（8-2-36）式中增加一行000202010121mmyxyxyxR元素即可得到相应的S阵和G阵。例[8-3]如图8-2水准网，CBA、、点全为待定点，同精度独立高差观测值为mh345.121，mh478.32，mh817.153，平差时选取CBA、、三个待定点的高程平差值为未知参数321ˆˆˆXXX、、，并取近似值)823.25345.22100302010mXXXX（试分别用直接法和附加条件法求解参数的平差值及其协因数阵。解：1．直接解法误差方程为600ˆˆˆ101110011321xxxV法方程为图8-2ABCh1h2h3miiyxR120202)(0606ˆˆˆ211121112321xxx由法方程易知211211N，1211121N，061W所以有6336271)(11111TNNQ未知参数的改正数为)(202)(ˆ111111111mmWQNWNNNxTTT未知参数的平差值为)821.25345.22002.10ˆˆˆˆˆˆ321030201321mxxxXXXXXX（未知参数的协因数阵为2111211129111111111ˆˆNQNQNQTXX2．附加条件法解法一中已求得法方程为0ˆWxN的具体形式为：0606ˆˆˆ211121112321xxx该水准网有3个待定点，所以附加阵为11113TS31313113TG则有TGGNN1111111113121112111272227222731522252225911N所以有)(20260652225222591ˆ1mmWNx