2.4.1-抛物线及其标准方程-梁

复习回顾平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹。·MFl0＜e＜1(2)当e＞1时，是双曲线；(1)当0e1时，是椭圆；lF·Me＞1那么，当e=1时，它又是什么曲线？几何画板观察CM·Fl·e=1H平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线。准线焦点d一、抛物线的定义即:若1MFd,则点M的轨迹是抛物线.思考：如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单,其标准方程形式怎样?yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2二、标准方程的推导l解：以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy.22()||22ppxyx两边平方,整理得xKyoM(x,y)F设(,)Mxy,FKp,则焦点(,0)2pF,准线:2plx依题意得22(0)ypxp这就是所求的轨迹方程.二、标准方程的推导三、抛物线的标准方程把方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程，其中p为正常数，表示焦点在x轴正半轴上。p的几何意义是:焦点到准线的距离焦点坐标是(,,0)2p2px准线方程为:xyolFK图形标准方程焦点坐标准线方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0,2p2px0,2p2px2,0p2py2,0p2py三、抛物线的标准方程一次项变量对称轴开口方向看正负焦点坐标四分一准线方程相反数例题讲解例1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）xy62（2）26xy（3）062yx拓展思考：你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标和准线方程。)0(2aaxy例2根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点坐标是F（0，-2）(2)焦点在直线3x-4y-12=0上(3)抛物线过点A（-3，2）。(1)因为焦点在y轴的负半轴上，并且p/2=2，p=4，所以抛物线的方程是x2=-8y解：(2)由题意，焦点应是直线3x-4y-12=0与x轴或y轴的交点，即A（4，0）或B（0，-3）当焦点为A点时，抛物线的方程是y2=16x当焦点为B点时，抛物线的方程是x2=-12y当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=949243∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=-xoxyA(3)23得p=例题讲解例3.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。例题讲解xyoF(4,0)Mx+5=0解:依题意,点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离,根据抛物线定义,点M的轨迹是以点F(4,0)为焦点的抛物线.∵p/2=4,∴p=8.∵焦点在x轴的正半轴,∴点M的轨迹方程为y2=16x例4.在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A(3,2)的距离之和最小。PQlAXyOF例题讲解课堂小结抛物线的定义抛物线四种形式的标准方程抛物线的定义及标准方程的简单应用椭圆与双曲线的第二定义数形结合的思想分类讨论的思想