等差数列的概念及通项公式复习导学案

第1课时等差数列的概念及通项公式知能目标解读1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点：等差数列的概念.难点：等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导1.等差数列的定义（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1(n∈N+且n≥2).（2）如何证明一个数列是等差数列?要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,an+1-an是同一个常数(或an-an-1(n1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.注意:判断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明an+1-an或an-an-1(n1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可.2.等差数列的通项公式（1）通项公式的推导常用方法：方法一（叠加法）：∵{an}是等差数列，∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,…,a3-a2=d,a2-a1=d.将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,∴an=a1+(n-1)d.方法二(迭代法)：∵{an}是等差数列，∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.即an=a1+(n-1)d.方法三（逐差法）：∵{an}是等差数列，则有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.（2）通项公式的变形公式在等差数列{an}中，若m，n∈N+，则an=am+(n-m)d.推导如下：∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有am=a1+(m-1)d①an=a1+(n-1)d②由②-①得an-am=(n-m)d,∴an=am+(n-m)d.注意：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d=mnaamn(n≠m).（3）通项公式的应用①利用通项公式可以求出首项与公差;②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.3.从函数角度研究等差数列的性质与图像由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.当d0时，{an}为递增数列，如图（甲）所示.当d0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示.当d=0时，{an}为常数列，如图(丙)所示.4.等差中项如果在数a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做数a与b的等差中项.注意:(1)等差中项A=2baa,A,b成等差数列；(2)若a,b,c成等差数列，那么b=2ca，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的；(3)用递推关系an+1=21(an+an+2)给出的数列是等差数列，an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项.知能自主梳理1.等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的是，我们称这样的数列为等差数列.2.等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做.3.等差数列的判断方法（1）要证明数列{an}是等差数列，只要证明：当n≥2时，.（2）如果an+1=22nnaa对任意的正整数n都成立，那么数列{an}是.（3）若a,A,b成等差数列，则A＝.4.等差数列的通项公式等差数列的通项公式为，它的推广通项公式为.5.等差数列的单调性当d0时，{an}是数列；当d=0时，{an}是数列；当d0时，{an｝是数列.［答案］1.差同一个常数2.a与b的等差中项3.（1）an-an-1=d(常数)(2)等差数列（3）2ba4.an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d5.递增常递减思路方法技巧命题方向等差数列的定义及应用［例1］判断下列数列是否为等差数列.（1）an=3n+2；（2）an=n2+n.［分析］利用等差数列定义，看an+1-an是否为常数即可.［解析］(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知，这个数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.［说明］利用定义法判断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列，这些不再是我们研究的范畴.1n=1变式应用1试判断数列｛cn｝，cn=是否为等差数列.2n-5n≥2［解析］∵c2-c1=-1-1=-2,cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数，不符合等差数列定义.∴{cn}不是等差数列.命题方向等差数列通项公式的应用［例2］已知数列{an}为等差数列，且a5=11,a8=5,求a11.［分析］利用通项公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通项公式的变形形式an=am+(n-m)d求解.［解析］解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d，由等差数列的通项公式及已知，得a1+4d=11a1=19解得.a1+7d=5d=-2∴a11=19+(11-1)×(-2)=-1.解法二：∵a8=a5+(8-5)d,∴d=5858aa=3115=-2.∴a11=a8+(11-8)d=5+3×(-2)=-1.［说明］(1)对于解法一，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出a1和d，确定通项，此法也称为基本量法.(2)对于解法二，根据通项公式的变形公式为：am=an+(m-n)d,m,n∈N+，进一步变形为d=nmaanm，应注意掌握对它的灵活应用.变式应用2已知等差数列{an}中，a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项.a10=a1+9d=29［解析］设等差数列的公差为d,则有，a21=a1+20d=62解得a1=2,d=3.∴an=2+(n-1)×3＝3n-1.令an＝3n-1=91,得n=392N+.∴91不是此数列中的项.命题方向等差中项的应用［例3］已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列？［分析］已知a,b,c成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2b,然后要证其他三项a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.［解析］因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b,又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.［说明］本题主要考查等差中项的应用，如果a,b,c成等差数列，则有a+c=2b;反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.变式应用3已知数列｛xn｝的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N＋,p,q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p,q的值.［分析］由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p,q的等式，结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.［解析］由x1=3,得2p+q=3,①又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得3＋25p+5q=25p+8q,②由①②得q=1,∴p=1.［说明］若三数a,b,c成等差数列，则a+c=2b,即b为a,c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到.探索延拓创新命题方向等差数列的实际应用［例4］某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？［解析］由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an,则an-an-1=-20,(n≥2,n∈N＋),每年获利构成等差数列｛an｝,且首项a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.若an0,则该公司经销这一产品将亏损，由an＝-20n＋2200,解得n11,即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.［说明］关于数列的应用题，首先要建立数列模型将实际问题数列化.变式应用42012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有150个座位，从第二排起每一排都比前一排多20个座位，你能用an表示第n排的座位数吗？第10排可坐多少人？［分析］分析题意知，看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.［解析］由题意知，每排的座位数组成了一个首项为a1=150,公差为d=20的等差数列，∴an=a1+(n-1)d=150+(n-1)×20=20n+130,则a10=330,即第10排可坐330人.名师辨误做答［例5］已知数列｛an｝,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).（1）判断数列｛an｝是否为等差数列？说明理由；（2）求｛an｝的通项公式.［误解］（1）∵an=an-1+2,∴an-an-1=2(为常数)，∴｛an｝是等差数列.（2）由上述可知，an=1+2(n-1)=2n-1.［辨析］忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上，数列｛an｝从第2项起，以后各项组成等差数列，而｛an｝不是等差数列，an=f(n)应该表示为“分段函数”型.［正解］（1）当n≥3时，an=an-1+2,即an-an-1=2.当n=2时，a2-a1=0不满足上式.∴｛an｝不是等差数列.（2）∵a2=1,an=an-1+2(n≥3)，∴a3=a2+2=3.∴a3-a2=2.当n≥3时，an-an-1=2.∴an=a2+(n-2)d=1+2(n-2)=2n-3,又a1=1不满足此式.1(n=1)∴an=.2n-3(n≥2)课堂巩固训练一、选择题1.（2011·重庆文，1）在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=（）A.12B.14C.16D.18［答案］D［解析］该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d.由a2=2,a3=4知d=2324=2.∴a10=a2+8d=2+8×2=18.2.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为（）A.2B.3C.－2D.－3［答案］C［解析］∵an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),∴公差为－2，故选C.3.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为（）A.1B.2C.3D.4［答案］C