【金版学案】2015-2016学年高中数学-3.1.2两角和与差的正弦课件-苏教版必修4

3．1.2两角和与差的正弦学习目标预习导学典例精析栏目链接1．能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式．2．了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例剖析学习目标预习导学典例精析栏目链接求值已知sinα＝－35，α是第四象限角，求sinπ4－α，cosπ4＋α的值．分析：可直接利用两角和与差的正弦、余弦公式求解．解析：由sinα＝－35，α是第四象限角，得cosα＝1－sin2α＝1－－352＝45，学习目标预习导学典例精析栏目链接于是有sinπ4－α＝sinπ4cosα－cosπ4sinα＝22×45－22×－35＝7210，cosπ4＋α＝cosπ4cosα－sinπ4sinα＝22×45－22×－35＝7210.说明：本题也可利用诱导公式求出cosπ4＋α的值，过程如下：cosπ4＋α＝cosπ2－π4－α＝sinπ4－α＝7210.学习目标预习导学典例精析栏目链接◎规律总结：在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的准确性、简洁性等，这些都是培养三角恒等变换能力所不能忽视的．变式训练1．已知α∈π4，3π4，β∈0，π4，cosπ4－α＝35，sin3π4＋β＝513，求sin(α－β)的值．分析：注意到π4－α＋3π4＋β＝π－(α－β)，即α－β＝π－π4－α＋3π4＋β，可通过求出π4－α，3π4＋β的正、余弦值来求sin(α－β)．解析：∵α∈π4，3π4，∴π4－α∈－π2，0.从而sinπ4－α＝－1－352＝－45.又β∈0，π4，∴3π4＋β∈3π4，π.从而cos3π4＋β＝－1－5132＝－1213.∴sin(α－β)＝sin[π－(α－β)]＝sin(π－α＋β)＝sinπ4－α＋3π4＋β＝sinπ4－αcos3π4＋β＋cosπ4－αsin3π4＋β＝－45×－1213＋35×513＝6365.学习目标预习导学典例精析栏目链接化简与证明函数f(x)＝|sinx＋cosx|的最小正周期是()A.π4B.π2C．πD．2π解析：sinx＋cosx＝2sinx＋π4，它的周期为2π，所以|sinx＋cosx|的周期为π.答案：C方法指导：本题考查三角函数周期的概念与求法，同时考查了三角函数式的恒等变形、含有绝对值符号的图象变换以及变换对图象周期的影响．求函数f(x)＝sinx＋π3＋2sinx－π3的单调区间．分析：利用两角和与差的正弦公式，将f(x)的表达式展开后，合并同类项，再化简，使其解析式中只含有一个x，再确定其单调区间．解析：f(x)＝sinxcosπ3＋cosxsinπ3＋2sinxcosπ3－2cosxsinπ3＝3sinxcosπ3－cosxsinπ3＝32sinx－32cosx＝332sinx－12cosx＝3sinxcosπ6－cosxsinπ6＝3sinx－π6.由2kπ－π2≤x－π6≤2kπ＋π2，得2kπ－π3≤x≤2kπ＋2π3(k∈Z)．由2kπ＋π2≤x－π6≤2kπ＋3π2，得2kπ＋2π3≤x≤2kπ＋5π3(k∈Z)．故f(x)的单调递增区间是2kπ－π3，2kπ＋2π3(k∈Z)，单调递减区间是2kπ＋2π3，2kπ＋5π3(k∈Z)．◎规律总结：通过三角变换，将三角函数的解析式变形为Asin(ωx＋φ)的形式，再分析其有关性质，是求解三角函数问题的基本思路．正用、逆用公式S(α±β)或C(α±β)，是三角函数式化简变形中的常用手段，一般地，形如asinx＋bcosx的三角函数式都可以变为Asin(ωx＋φ)的形式．变式训练2．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝2tanα.分析：等式中，三角式构成有角的差异，采用角的变换，β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α.证明：因为3sinβ＝sin(2α＋β)，即3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)·cosα＋cos(α＋β)·sinα，即2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.因此tan(α＋β)＝2tanα.