【金版学案】2015-2016学年高中数学-3.2二倍角的三角函数课件-苏教版必修4

3．2二倍角的三角函数学习目标预习导学典例精析栏目链接1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及应用条件．2．熟练运用倍角公式进行化简，求值和证明．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例剖析学习目标预习导学典例精析栏目链接求值已知sinα＝45，求sin2α，cos2α，tan2α的值．分析：由sinα＝45，而α所在象限没有给出，因此要分类讨论．解析：∵sinα＝45，∴α为第一或第二象限角．(1)当α为第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝35，tanα＝43，sin2α＝2sinαcosα＝2×45×35＝2425，学习目标预习导学典例精析栏目链接cos2α＝1－2sin2α＝－725，tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－432＝－247或tan2α＝sin2αcos2α＝2425－725＝－247.(2)当α为第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－35，sin2α＝2sinαcosα＝2×45×－35＝－2425，cos2α＝1－2sin2α＝－725，tan2α＝sin2αcos2α＝247.学习目标预习导学典例精析栏目链接已知sinθ＋cosθ＝22，0θ3π4，求sin2θ，cos2θ的值．分析：要解决sin2θ，cos2θ的值，利用同角三角函数的关系式，通过缩小角的范围就可以解决．解析：∵0sinθ＋cosθ＝221，且0θ3π4，∴π2θ3π4，2θ∈π，3π2.将sinθ＋cosθ＝22，两边平方得sin2θ＝－12，∴cos2θ＝－1－sin22θ＝－32.方法指导：本题还可以通过判断π2θ3π4，利用已知条件及sin2θ＋cos2θ＝1，分别解出sinθ，cosθ，然后求出sin2θ，cos2θ.变式训练1．已知sinπ4－α＝513，0απ4，求cos2αcosπ4＋α的值．解析：∵α∈0，π4，∴π4－α∈0，π4.又∵sinπ4－α＝513，∴cosπ4－α＝1213.∴cos2α＝sinπ2－2α＝2sinπ4－αcosπ4－α＝2×513×1213＝120169，cosπ4＋α＝sinπ2－π4＋α＝sinπ4－α＝513.∴原式＝120169×135＝2413.学习目标预习导学典例精析栏目链接化简与证明化简：sin2x（sinx＋cosx－1）（sinx－cosx＋1）.分析：依据化简问题的基本原则，减少角的种类，使形式尽量简洁，因此，本题化简首先从分母的化简入手．解析：原式＝sin2x2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x2＝sin2x4sin2x2cos2x2－sin2x2＝sin2x4sin2x2cosx＝4sinx2cosx2cosx4sin2x2cosx＝1tanx2.证明：(1)sin2α＝2tanα1＋tan2α；(2)cos2α＝1－tan2α1＋tan2α.分析：弦切转化是利用同角三角函数的商数关系．整式与分式的转化是运用1作分母．证明：(1)左边＝sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosα1＝2sinαcosαcos2α＋sin2α＝2tanα1＋tan2α＝右边．(2)左边＝cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α1＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝右边．变式训练2．化简：2sin8＋1－2cos8＋2.解析：原式＝2sin24＋2sin4cos4＋cos24－2（2cos24－1）＋2＝2|sin4＋cos4|－2|cos4|.∵π43π2，∴sin4＋cos40，cos40.∴原式＝－2sin4－2cos4＋2cos4＝－2sin4.学习目标预习导学典例精析栏目链接二倍角公式的灵活应用求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．分析：通过诱导公式化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解析：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116.◎规律总结：三角恒等变形的基本步骤：观察差异(或角，或函数，或运算)，寻找联系(借助熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由因导果或执果索因)，实现转化．变式训练3．已知f(x)＝sin3xcos3x＋cos3xsin3x，求fπ16的值．解析：f(x)＝sin3xcos3x＋cos3xsin3x＝sin3x·cosx·1＋cos2x2＋cos3x·sinx·1－cos2x2＝12(sin3xcosx＋cos3xsinx)＋12cos2x·(sin3xcosx－cos3xsinx)＝12sin4x＋12cos2xsin2x＝34sin4x，∴fπ16＝34sinπ4＝328.