最新教案：变化率与导数、导数的计算(含解析)

变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x三、导数的运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3.fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．(理)4.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[基础自测]1．若f(x)＝xex，则f′(1)＝()A．0B．eC．2eD．e2解析：选C∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.2．曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为()A．2B．－2C.12D．－12解析：选A依题意得y′＝1＋lnx，y′|x＝e＝1＋lne＝2，所以－1a×2＝－1，a＝2.3．某质点的位移函数是s(t)＝2t3－12gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，它的加速度是()A．14m/s2B．4m/s2C．10m/s2D．－4m/s2解析：选A由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．4．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝05．函数y＝xcosx－sinx的导数为________．解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：－xsinx题型1利用导数的定义求函数的导数[例1]用定义法求下列函数的导数．(1)y＝x2；(2)y＝4x2.[自主解答](1)因为ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝x＋Δx2－x2Δx＝x2＋2x·Δx＋Δx2－x2Δx＝2x＋Δx，所以y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.(2)因为Δy＝4x＋Δx2－4x2＝－4Δx2x＋Δxx2x＋Δx2，ΔyΔx＝－4·2x＋Δxx2x＋Δx2，所以limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－4·2x＋Δxx2x＋Δx2＝－8x3.变式练习1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．解：(1)∵s＝8－3t2，∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，v＝ΔsΔt＝－6－3Δt.(2)法一(定义法)：质点在t＝1时的瞬时速度v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－6－3Δt)＝－6.法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t.当t＝1时，v＝－6×1＝－6.题型2导数的运算[例2]求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝ex＋1ex－1；[自主解答](1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12＝exex－1－ex＋1exex－12＝－2exex－12.则y′＝(lnu)′u′＝12x－5·2＝22x－5，即y′＝22x－5.变式练习2．求下列函数的导数．(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；解：(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·1x＝exlnx＋1x.(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.题型3导数的几何意义[例3](1)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．－14B．2C．4D．－12[自主解答](1)y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.(2)∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝k＝2.又f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4.[答案](1)C(2)C变式练习3．(1)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．(2)直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋lnx相切，则b的值为()A．－2B．－1C．－12D．1解析：(1)y′＝3lnx＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.(2)设切点的坐标为a，－12a＋lna，依题意，对于曲线y＝－12x＋lnx，有y′＝－12＋1x，所以－12＋1a＝12，得a＝1.又切点1，－12在直线y＝12x＋b上，故－12＝12＋b，得b＝－1.答案：(1)y＝4x－3(2)B课后练习A组1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析：选Cf′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．2．已知物体的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()A.194B.174C.154D.134解析：选D∵s′＝2t－3t2，∴s′|t＝2＝4－34＝134.3．已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A．y＝－3xB．y＝－2xC．y＝3xD．y＝2x解析：选B∵f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2.∵f′(x)为偶函数，∴a＝0.∴f′(x)＝3x2－2.∴f′(0)＝－2.∴曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.4．设曲线y＝1＋cosxsinx在点π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()A．－1B.12C．－2D．2解析：选A∵y′＝－sin2x－1＋cosxcosxsin2x＝－1－cosxsin2x，∴y′|x＝π2＝－1.由条件知1a＝－1，∴a＝－1.5．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A．1B.2C.22D.3解析：选B设P(x0，y0)到直线y＝x－2的距离最小，则y′|x＝x0＝2x0－1x0＝1.得x0＝1或x0＝－12(舍)．∴P点坐标(1,1)．∴P到直线y＝x－2距离为d＝|1－1－2|1＋1＝2.6．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数D．f(x)＋g(x)为常数函数解析：选C由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．7．已知函数f(x)＝lnx－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.解析：∵f′(x)＝1x－2f′(－1)x＋3，f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．解析：易知抛物线y＝12x2上的点P(4,8)，Q(－2,2)，且y′＝x，则过点P的切线方程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4.答案：－49．已知函数f(x)＝12x－14sinx－34cosx的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，则tanx0＝________.解析：由f(x)＝12x－14sinx－34cosx得f′(x)＝12－14cosx＋34sinx，则k＝f′(x0)＝12－14cosx0＋34sinx0＝1，即32sinx0－12cosx0＝1，即sinx0－π6＝1.所以x0－π6＝2kπ＋π2，k∈Z，解得x0＝2kπ＋2π3，k∈Z.故tanx0＝tan2kπ＋2π3＝tan2π3＝－3.答案：－310．求下列函数的导数．(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；解：(1)y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·sinxcosx′＝tanx＋x·cos2x＋sin2xcos2x＝tanx＋xcos2x.(2)y′＝(x＋1)′(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.11．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－lnx)(a0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a.所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，得：y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)．得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1，当曲线y＝f(x)斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行时，求a的值．解：f′(x)＝3x2＋2ax－9＝3x＋a32－9－a23，即当x＝－a3时，函数f′(x)取得最小值－9－a23，因斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a23＝－12，即a2＝9，即a＝±3.B组1．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝()A．0B．26C．29D．212解