第2讲-点、直线与平面的位置关系

2021/3/3第二讲点、直线与平面的位置关系专题四2021/3/3命题角度聚焦方法警示探究核心知识整合命题热点突破课后强化作业学科素能培养2021/3/3命题角度聚焦2021/3/3•(1)以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等．•(2)以几何体的直观图、三视图为载体，考查考生识图、用图能力和对空间线面位置关系的掌握情况．•(3)以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形式呈现．2021/3/3核心知识整合2021/3/3•1．点、线、面的位置关系•(1)平面的基本性质2021/3/3名称图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈lB∈lA∈αB∈α⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点有且只有一个平面若A、B、C三点不共线，则A、B、C在同一平面α内且α是唯一的．公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.平面α与β不重合，若P∈α，且P∈β，则α∩β＝a，且P∈a2021/3/3•(2)平行公理、等角定理•公理4：若a∥c，b∥c，则a∥b.•等角定理：若OA∥O1A1，OB∥O1B1，则∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.2021/3/3•2．直线、平面的平行与垂直定理名称文字语言图形语言符号语言线面平行的判定定理平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α2021/3/3定理名称文字语言图形语言符号语言线面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b，⇒a∥b面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β2021/3/3定理名称文字语言图形语言符号语言面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β且γ∩α＝a且γ∩β＝b⇒a∥b线面垂直的判定定理一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α2021/3/3定理名称文字语言图形语言符号语言线面垂直的性质定理垂直于同一平面的两条直线平行a⊥α，b⊥α⇒a∥b面面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直a⊥α，a⊂β，⇒α⊥β2021/3/3定理名称文字语言图形语言符号语言面面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α⊥β，b∈β，α∩β＝a，b⊥a⇒b⊥α2021/3/3•3.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础.2021/3/3•1．应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件．•2．作辅助线(面)是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有关定理作图．注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化．2021/3/33．若a、b、c代表直线或平面，△代表平行或垂直，在形如a△ba△c⇒b△c的命题中，要切实弄清有哪些是成立的，有哪些是不成立的．例如a、b、c中有两个为平面，一条为直线，命题a⊥αa⊥β⇒α∥β是成立的.a∥αa∥β⇒α∥β是不成立的．2021/3/3命题热点突破2021/3/3•线面位置关系的命题真假判断(2014·辽宁理，4)已知m、n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α[答案]B2021/3/3•[分析]本题考查空间中平行关系与垂直关系．依据线面位置关系的定义及判定性质定理求解．•[解析]对于A，m∥α，n∥α，则m、n的关系是平行，相交，异面，故A不正确；•对于B，由直线与平面垂直的定义知正确；•对于C，n可能在平面α内；•对于D，n⊂α，n与α斜交，n⊥α，n∥α都有可能．•[点评]这类题目常借助于多面体(如正方体)进行判断，实际解答时只要能确定选项即可，不必逐一判断．2021/3/3已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下面有四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒m与α不相交．则其中正确的命题为()A．①②B．①③C．①②③D．①③④2021/3/3•[答案]D•[解析]由α∥β，l⊥α得l⊥β，又m⊂β，∴l⊥m，①正确；由α⊥β，l⊥α得l⊂β或l∥β，故不能得到l∥m，②错误；由l⊥α，l∥m得m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β，③正确；由l⊥m，l⊥α得m⊂α或m∥α，故m，α不相交，④正确．故选D.2021/3/3•[方法规律总结]•解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中．2021/3/3•线线、线面位置关系(文)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F、H分别为A1D、A1C的中点．(1)证明：A1B∥平面AFC；(2)证明：B1H⊥平面AFC.[分析]分别利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理证明．2021/3/3[解析](1)连BD交AC于点E，则E为BD的中点，连EF，又F为A1D的中点，所以EF∥A1B.又EF⊂平面AFC，A1B⊄平面AFC，∴A1B∥平面AFC.2021/3/3(2)连接B1C，在正方体中四边形A1B1CD为长方形，∵H为A1C的中点，∴H也是B1D的中点，∴只要证B1D⊥平面ACF即可．2021/3/3由正方体性质得AC⊥BD，AC⊥B1B，∴AC⊥平面B1BD，∴AC⊥B1D.又F为A1D的中点，∴AF⊥A1D，又AF⊥A1B1，∴AF⊥平面A1B1D.∴AF⊥B1D，又AF、AC为平面ACF内的相交直线．∴B1D⊥平面ACF.即B1H⊥平面ACF.2021/3/3(理)(2014·山东文，18)如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E、F分别为线段AD、PC的中点．(2)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC.[分析](1)问根据线面平行的判定定理在面BEF找直线与AP平行，充分利用中点的条件．(2)证BF⊥AC，BE⊥AP即可．2021/3/3[解析](1)证明：如图所示，连结AC交BE于点O，连结OF.∵E为AD中点，BC＝12AD，AD∥BC，∴四边形ABCE为平行四边形．∴O为AC的中点，又F为PC中点，∴OF∥AP.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.2021/3/3(2)由(1)知四边形ABCE为平行四边形．又∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．∴BE⊥AC.由题意知BC綊12AD，∴BC綊ED，∴四边形BCDE为平行四边形∴BE∥CD.2021/3/3又∵AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD.∴AP⊥BE.又∵AP∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC.2021/3/3(文)(2013·北京东城区模拟)如图，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，F为BC的中点，若AB＝AC＝AD＝12CE.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：平面BDE⊥平面BCE.2021/3/3[证明](1)取BE的中点G，连接GF、GD.因为F是BC的中点，则GF为△BCE的中位线．所以GF∥EC，GF＝12CE.因为AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，所以GF∥EC∥AD.又因为AD＝12CE，所以GF＝AD.2021/3/3所以四边形GFAD为平行四边形．所以AF∥DG.因为DG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.2021/3/3•(2)因为AB＝AC，F为BC的中点，•所以AF⊥BC.•因为EC∥GF，EC⊥平面ABC，•所以GF⊥平面ABC.•又AF⊂平面ABC，•所以GF⊥AF.•因为GF∩BC＝F，•所以AF⊥平面BCE.2021/3/3•因为AF∥DG，•所以DG⊥平面BCE.•又DG⊂平面BDE，•所以平面BDE⊥平面BCE.2021/3/3•(理)(2013·天津理，17)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明：B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26，求线段AM的长．2021/3/3[解析]以点A为原点建立空间直角坐标系如图，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．(1)证明：易得B1C1→＝(1,0，－1)，CE→＝(－1,1，－1)，于是B1C1→·CE→＝0，所以B1C1⊥CE.2021/3/3(2)解：B1C→＝(1，－2，－1)．设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，则m·B1C→＝0，m·CE→＝0，即x－2y－z＝0，－x＋y－z＝0.消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．2021/3/3由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故B1C1→＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．于是cos〈m，B1C1→〉＝m·B1C1→|m|·|B1C1→|＝－414×2＝－277，从而sin〈m，B1C1→〉＝217，所以二面角B1－CE－C1的正弦值为217.2021/3/3(3)解：AE→＝(0,1,0)，EC1→＝(1,1,1)．设EM→＝λEC1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM→＝AE→＋EM→＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB→＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则2021/3/3sinθ＝|cos〈AM→，AB→〉|＝|AM→·AB→||AM→|·|AB→|＝2λλ2＋λ＋12＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1.于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13，所以AM＝2.2021/3/3•[方法规律总结]•1．要证线面平行，先在平面内找一条直线与已知直线平行，或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面，找出交线，证明二线平行．•2．要证线线平行，可考虑公理4或转化为线面平行．•3．要证线面垂直可转化为证明线线垂直，应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化．2021/3/3•面面位置关系(文)底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝a，F、F1分别是AC、A1C1的中点．(1)求证：平面AB1F1∥平面C1BF；(2)求证：平面AB1F1⊥平面ACC1A1.2021/3/3•[分析](1)在正三棱柱中，由F、F1分别为AC、A1C1的中点，不难想到四边形AFC1F1与四边形BFF1B1都为平行四边形，于是要证平面AB1F1∥平面C1BF，可证明平面AB1F1与平面C1BF中有两条相交直线分别平行，即BF∥BF1，FC1∥AF1.•(2)要证两平面垂直，只要在一个平面内能够找到一条直线与另一个平面平行，考虑到侧面ACC1A1与底面垂直，F1为A1C1的中点，则不难想到B1F1⊥平面ACC1A1，而平面AB1F1经过B1F1，因此可知结论成立．2021/3