高考数学-云师堂3.2

3.2三角变换与解三角形专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳考情分析-2-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理16)(2012全国,理17)(2013全国Ⅰ,理17)(2013全国Ⅱ,理15)(2013全国Ⅱ,理17)(2014全国Ⅰ,理8)(2014全国Ⅰ,理16)(2014全国Ⅱ,理4)(2014全国Ⅱ,理14)(2015全国Ⅰ,理2)(2015全国Ⅰ,理16)(2015全国Ⅱ,理17)选择题填空题解答题三角变换及解三角形是高考考查的热点,然而单独考查三角变换的题目较少,题目往往以解三角形为背景,在应用正弦定理、余弦定理的同时,经常应用三角变换进行化简,综合性比较强,难度不大.解答题基本上是隔年出现,题目的数量有时是两个小题,有时是一小一大,有时是一个大题.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是正弦定理、余弦定理与三角形面积的小综合,正弦定理、余弦定理与三角函数性质的小综合,正弦定理、余弦定理、三角形面积及三角变换的大综合.专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳高频考点-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四三角恒等变换及求值【思考】三角变换的基本思路及技巧有哪些?例1(2015甘肃天水一模)已知cos𝑥-π6=-33,则cosx+cos𝑥-π3=()A.-233B.±233C.-1D.±1答案解析解析关闭∵cos𝑥-π6=-33,∴cosx+cos𝑥-π3=cosx+cosxcosπ3+sinxsinπ3=32cosx+32sinx=332cos𝑥+12sin𝑥=3cos𝑥-π6=3×-33=-1.故选C.答案解析关闭C专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-题后反思从函数名、角、运算三方面进行差异分析,变换的基本思路是:异角化同角,异名化同名,高次化低次;常用的技巧是:切化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-对点训练1(1)(2015全国Ⅰ高考)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-32B.32C.-12D.12(2)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sin𝛽-π4=1213,则cos𝛼+π4=.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四答案解析解析关闭解析:(1)sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=12.(2)∵α,β∈3π4,π,∴α+β=3π2,2π,∴cos(α+β)0.易得cos(α+β)=45.又π2β-π43π4,∴cos𝛽-π40,易得cos𝛽-π4=-513.故cos𝛼+π4=cos(𝛼+𝛽)-𝛽-π4=cos(α+β)cos𝛽-π4+sin(α+β)sin𝛽-π4=45×-513+-35×1213=-5665.答案解析关闭(1)D(2)-5665专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-正、余弦定理的简单应用【思考】应用正、余弦定理需要的条件及解决的问题有哪些?例2(1)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定(2)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C的大小为.答案解析解析关闭(1)由bcosC+ccosB=asinA结合正弦定理,得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,所以sinA=1.由0Aπ,得A=π2,故△ABC为直角三角形.(2)由已知条件和正弦定理,得3a=5b,且b+c=2a,则a=5𝑏3,c=2a-b=7𝑏3.所以cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=-12.因为0Cπ,所以C=2π3.答案解析关闭(1)B(2)2π3命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-题后反思1.已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.2.已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.3.已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.4.已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C(或先用余弦定理求出最大边所对的角,再用正弦定理及三角形内角和定理求另外两个内角).命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-对点训练2(2015全国Ⅰ高考)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=2,求△ABC的面积.答案答案关闭(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=14.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2.所以△ABC的面积为1.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-解三角形【思考】在解三角形中,一般要用到哪些知识?例3(2015全国Ⅱ高考)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求sin𝐵sin𝐶;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.答案答案关闭(1)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin𝐵sin𝐶=𝐴𝐶𝐴𝐵=12.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-题后反思关于解三角形问题,一般要用到三角形内角和定理,正弦定理、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用.同时,要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-对点训练3如图所示,在▱ABCD中,AB=4,AD=2,∠DAB=60°,∠BCD=120°.(1)当BC=CD时,求△BCD的面积;(2)设∠CBD=θ,记四边形ABCD的周长为f(θ),求f(θ)的表达式,并求出它的最大值.答案答案关闭(1)在△ABD中,AB=4,AD=2,∠DAB=60°,根据余弦定理可得BD=22+42-2×2×4×12=23.在△BCD中,因为∠BCD=120°,所以当BC=CD时,∠CBD=∠CDB=30°,根据正弦定理可得BC=𝐵𝐷·sin30°sin120°=2,CD=2.故△BCD的面积S=12BC·CD·sin∠BCD=12×2×2×32=3.(2)在△BCD中,由𝐷𝐶sin𝜃=𝐵𝐶sin(60°-𝜃)=𝐵𝐷sin120°=4,得DC=4sinθ,BC=4sin(60°-θ),所以f(θ)=AB+AD+BC+CD=4+2+4sin(60°-θ)+4sinθ=4sinθ+23cosθ-2sinθ+6=6+2sinθ+23cosθ=6+4sin(θ+60°).因为0°θ60°,所以当且仅当θ=30°时,sin(θ+60°)有最大值1.从而f(θ)的最大值为10.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-解三角形与三角变换的综合问题【思考】在三角形中,对于含有边角关系的等式如何进行运算?例4(2015湖南怀化高三一模)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=3asinC-ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为3,求b,c.答案答案关闭(1)由c=3asinC-ccosA及正弦定理,得3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.因为sinC≠0,所以sin𝐴-π6=12.又0Aπ,所以A=π3.(2)△ABC的面积S=12bcsinA=3,则bc=4.因为a2=b2+c2-2bccosA,所以b2+c2=8,解得b=c=2(负值舍去).命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-题后反思对于一个解三角形的综合问题,若条件是既有边又有角的关系式,在进行运算时有两种方法:一是应用正弦定理把边转化为角,然后利用三角恒等变换进行化简整理;二是应用余弦定理把角转化为边,然后进行字母的代数运算,使关系式得到简化.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-对点训练4在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2acosA.(1)求角A的大小;(2)若𝐴𝐵·𝐴𝐶=3,求△ABC的面积.答案答案关闭(1)(方法一)在△ABC中,由正弦定理及bcosC+ccosB=2acosA,得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,即sinA=2sinAcosA.因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosA=12,所以A=π3.(方法二)在△ABC中,由余弦定理及bcosC+ccosB=2acosA,得b𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏+c𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=2a𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐,所以a2=b2+c2-bc,所以cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=12.因为A∈(0,π),所以A=π3.(2)由𝐴𝐵·𝐴𝐶=cbcosA=3,得bc=23,所以△ABC的面积为S=12bcsinA=12×23sin60°=32.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳核心归纳-15-规律总结拓展演练1.三角恒等变形的基本思路:(1)“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”;(2)“切化弦”“1”的代换;(3)角的变换是三角变换的核心,如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β)等.2.和差化积、倍角、半角公式应用的技巧:公式的正用、逆用和变形用.3.在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.正弦定理的形式多样,其中a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC能够实现边角互化.4.在解三角形中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现增解等扩大范围的现象.专题三3.2三角变换与解三角形考情分析高频考点核心归纳核心归纳-16-规律总结拓展演练1.已知cos𝛼-π6+sinα=435,则sin𝛼+7π6的值是()A.-235B.235C.-45D.45答案解析解析关闭∵cos𝛼-π6