高考数学-云师堂1.2

1.2不等式、线性规划专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力解读-2-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理13)(2012全国,理14)(2013全国Ⅰ,理1)(2013全国Ⅱ,理1)(2013全国Ⅱ,理9)(2014全国Ⅰ,理1)(2014全国Ⅰ,理9)(2014全国Ⅱ,理1)(2014全国Ⅱ,理9)(2015全国Ⅰ,理15)(2015全国Ⅱ,理14)选择题填空题高考对不等式的性质及不等式解法的考查一般不会单独命题,经常与集合知识相结合来命题,难度较小,也经常作为工具性知识渗透在函数、三角、数列、解析几何等题目中;高考对线性规划考查的频率非常高,几乎每年都有题目,重点是确定一元一次不等式(组)表示的平面区域,求目标函数的最值或范围,已知目标函数的最值求参数值或范围.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是一元二次不等式、简单的分式不等式、对数和指数不等式的解法;求目标函数的最值或范围;已知目标函数的最值求参数值或范围.专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力突破-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四简单不等式的解法【思考】如何解一元二次不等式、分式不等式?解指数不等式、对数不等式的基本思想是什么?例1(1)不等式x2+2x-3≥0的解集为()A.{x|x≤-1或x≥3}B.{x|-1≤x≤3}C.{x|x≤-3或x≥1}D.{x|-3≤x≤1}(2)不等式-x2≥x-2的解集为()A.{x|x≤-2或x≥1}B.{x|-2x1}C.{x|-2≤x≤1}D.专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力突破-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(3)若log12(1-x)log12x,则()A.0x13B.x12C.0x12D.12x1(4)不等式12𝑥-11的解集是.答案解析解析关闭(1)由x2+2x-3≥0,得(x+3)(x-1)≥0,解得x≤-3或x≥1,故选C.(2)原不等式可化为x2+x-2≤0,即(x+2)(x-1)≤0,解得-2≤x≤1.故选C.(3)由已知可得1-𝑥0,𝑥0,1-𝑥𝑥,解得0x12,故选C.(4)不等式12𝑥-11可化为12𝑥-1-10,即2-2𝑥2𝑥-10,因此(x-1)𝑥-120,解得x1或x12,即不等式的解集为𝑥𝑥1或𝑥12.答案解析关闭(1)C(2)C(3)C(4)𝑥𝑥1或𝑥12专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力突破-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.解一元二次不等式先化为一般形式ax2+bx+c0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集;解分式不等式首先要移项、通分、化简,然后转化为整式不等式求解.2.解指数不等式、对数不等式的基本思想是利用函数的单调性,把不等式转化为整式不等式求解.专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力突破-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1(1)不等式𝑥-12𝑥+1≤0的解集为()A.-∞,-12∪[1,+∞)B.-12,1C.-12,1D.-∞,-12∪[1,+∞)(2)不等式13𝑥2-83-2x的解集是.(3)设集合A={x|(x-1)23x-7},则集合A∩Z中有个元素.(4)若关于x的不等式x2-4x+a2≤0的解集是空集,则实数a的取值范围是.答案解析解析关闭(1)𝑥-12𝑥+1≤0等价于(𝑥-1)(2𝑥+1)≤0,2𝑥+1≠0,即-12x≤1,不等式𝑥-12𝑥+1≤0的解集为-12,1.(2)将不等式变形得3-𝑥2+83-2x,则-x2+8-2x,从而x2-2x-80,即(x+2)(x-4)0,解得-2x4,故不等式的解集是{x|-2x4}.(3)∵不等式(x-1)23x-7可化为x2-5x+80,即𝑥-522+740,∴A=⌀,故A∩Z中没有元素.(4)由题意得Δ=(-4)2-4a20,解得a2或a-2.答案解析关闭(1)C(2){x|-2x4}(3)0(4)(-∞,-2)∪(2,+∞)专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力突破-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四求线性目标函数的最值【思考】求线性目标函数最值的一般方法是什么?例2(2015全国Ⅱ高考)若x,y满足约束条件𝑥-𝑦+1≥0,𝑥-2𝑦≤0,𝑥+2𝑦-2≤0,则z=x+y的最大值为.答案解析解析关闭由约束条件画出可行域,如图中的阴影部分所示.由可行域可知,目标函数z=x+y过点B取得最大值.联立𝑥-2𝑦=0,𝑥+2𝑦-2=0,得B1,12.∴zmax=12+1=32.答案解析关闭32专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力突破-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思利用图解法解决线性规划问题的一般方法:(1)作出可行域.将约束条件中的每一个不等式当作等式,作出相应的直线,并确定原不等式的区域,然后求出所有区域的交集;(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线);(3)求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数等值线,从图中能判定问题有唯一最优解,或者是有无穷最优解,或是无最优解.专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力突破-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2(2015全国Ⅰ高考)若x,y满足约束条件𝑥+𝑦-2≤0,𝑥-2𝑦+1≤0,2𝑥-𝑦+2≥0,则z=3x+y的最大值为.答案解析解析关闭画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示),由𝑥-2𝑦+1=0,𝑥+𝑦-2=0解得𝑥=1,𝑦=1,即点A的坐标为(1,1).由z=3x+y,得y=-3x+z.作出直线l0:y=-3x,并平移,当直线经过点A时,直线在y轴上的截距最大,即z最大.所以zmax=3×1+1=4.答案解析关闭4专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力突破-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四已知线性目标函数的最值求参数【思考】已知目标函数的最值求参数有哪些基本方法?例3(2015山东高考)已知x,y满足约束条件𝑥-𝑦≥0,𝑥+𝑦≤2,𝑦≥0.若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案解析解析关闭由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.设直线l0:ax+y=0.当-a≥1,即a≤-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,zmax=0+0=0,不合题意;当0≤-a1,即-1a≤0时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,zmax=a+1=4,∴a=3(舍去);当-1-a0时,即0a1时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,zmax=2a+1=4,∴a=32(舍去);当-a≤-1,即a≥1时,l0过A(2,0)时,z取得最大值,zmax=2a+0=4,∴a=2.综上,a=2符合题意.答案解析关闭B专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力突破-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力突破-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3已知实数x,y满足条件𝑥≥2,𝑥+𝑦≤4,-2𝑥+𝑦+𝑐≥0,若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为()A.10B.12C.14D.15答案解析解析关闭画出x,y满足的可行域如图,可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A,使目标函数z=3x+y取得最小值5,故由𝑥=2,-2𝑥+𝑦+𝑐=0,解得x=2,y=4-c,代入3x+y=5,得6+4-c=5,c=5,由𝑥+𝑦=4,-2𝑥+𝑦+5=0,解得B(3,1).当过点B(3,1)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为10.故选A.答案解析关闭A专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力突破-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四求非线性目标函数的最值【思考】求非线性目标函数最值的关键是什么?怎样对目标函数进行变形?例4(2015全国Ⅰ高考)若x,y满足约束条件𝑥-1≥0,𝑥-𝑦≤0,𝑥+𝑦-4≤0,则𝑦𝑥的最大值为.答案解析解析关闭画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使𝑦𝑥最大,则𝑦-0𝑥-0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,𝑦𝑥max=3-01-0=3.答案解析关闭3专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力突破-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思求非线性目标函数最值的关键是理解目标函数的几何意义.为了确定目标函数的几何意义往往需要对目标函数进行变形,变形通常有距离型:形如z=(x-a)2+(y-b)2;斜率型:形如z=𝑦-𝑏𝑥-𝑎.专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力突破-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4设z=kx+y,其中实数x,y满足𝑥≥2,𝑥-2𝑦+4≥0,2𝑥-𝑦-4≤0.若z的最大值为12,则实数k=.答案解析解析关闭满足条件𝑥≥2,𝑥-2𝑦+4≥0,2𝑥-𝑦-4≤0的区域D如图阴影部分所示,且A(2,3),B(4,4),C(2,0).作直线l0:y=-kx,当k0时,y=-kx为减函数,在B处z最大,此时k=2;当k0时,y=-kx为增函数,当-k∈0,12时,在B处z取最大值,此时k=2(舍去);当-k12时,在A处取得最大值,k=92(舍去),故k=2.答案解析关闭2专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力训练-16-规律总结拓展演练1.求解不等式的方法(1)对于一元二次不等式,应先化为一般形式ax2+bx+c0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原因,确定好分类标准,有理有据、层次清楚地求解.(4)与一元二次不等式有关的恒成立问题,通常转化为根的分布问题,求解时一定要借助二次函数的图象,一般考虑四个方面:开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号.专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力训练-17-规律总结拓展演练2.线性规划问题的三种题型(1)求最值,常见形如截距式z=ax+by,斜率式z=𝑥-𝑏𝑥-𝑎,距离式z=(x-a)2+(y-b)2.(2)求区域面积.(3)由最优解或可行域确定参数的值或取值范围.专题一1.2不等式、线性规划高考能力解读高考能力突破高考能力训练高考能力训练-18-规律总结拓展演练1.若0t1,则不等式x2-𝑡+1𝑡x+10的