高考数学-云师堂2.1

专题二函数与导数2.1基本初等函数、函数的图象和性质专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳考情分析-3-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理2)(2011全国,理12)(2012全国,理10)(2013全国Ⅰ,理11)(2013全国Ⅱ,理16)(2014全国Ⅰ,理3)(2015全国Ⅰ,理13)(2015全国Ⅱ,理5)(2015全国Ⅱ,理10)选择题填空题函数的图象和性质是历年高考的重要内容,也是热点内容,对图象的考查主要有两个方面:一是识图,二是用图,即利用函数的图象,通过数形结合解决问题;对函数性质的考查,则主要是将单调性、奇偶性、周期性等知识综合考查.常涉及的函数主要是二次函数、指数函数、对数函数及分段函数.复习的重点有四个:一是基本初等函数的图象及性质,特别是二次函数、指数函数、对数函数、分段函数的图象和性质;二是函数基本性质的应用;三是函数图象的应用,体现数形结合的数学思想;四是利用函数的性质判断复杂函数的图象.专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四函数及其表示【思考】求函数的定义域、函数值应注意哪些问题?例1(1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=𝑓(2𝑥)ln𝑥的定义域是.(2)设函数y=f(x)在R上有定义,对于给定的正数M,定义函数fM(x)=𝑓(𝑥),𝑓(𝑥)≤𝑀,𝑀,𝑓(𝑥)𝑀,则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”.若给定函数f(x)=2-x2,M=1,则fM(fM(0))的值为.答案解析解析关闭(1)由函数y=f(x)的定义域是[0,2],得函数g(x)有意义的条件为0≤2x≤2,且x0,x≠1,故x∈(0,1).(2)由题意,令f(x)=2-x2=1,得x=±1,因此当x≤-1或x≥1时,fM(x)=2-x2;当-1x1时,fM(x)=1,所以fM(0)=1,fM(fM(0))=fM(1)=2-12=1.答案解析关闭(1)(0,1)(2)1专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-题后反思1.若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组)即可;若已知f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出;实际问题除要考虑解析式有意义外,还应考虑现实意义.2.当求形如f(g(x))的函数值时,应遵循先内后外的原则;而对于分段函数的求值(解不等式)问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-对点训练1(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)(2)若函数f(x)=2𝑥,𝑥≥4,𝑓(𝑥+3),𝑥4,则f(log23)=.答案解析解析关闭(1)由题意可知x2-x0,解得x0或x1.故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).(2)f(log23)=f(log23+3)=f(log224)=2log224=24.答案解析关闭(1)C(2)24命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-函数的性质及其应用【思考1】在函数的单调性、奇偶性、周期性中,哪些是函数的局部性质,哪些是函数的整体性质?【思考2】如果一个函数是奇函数或偶函数,那么这个函数的单调性具有什么特点?例2(1)(2015天津高考)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.acbC.cabD.cba(2)设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减.若f(1-m)f(m),则实数m的取值范围是.答案解析解析关闭(1)因为函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,所以对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x),即2|-x-m|-1=2|x-m|-1对∀x∈R恒成立,所以m=0,即f(x)=2|x|-1.所以f(x)在[0,+∞)上为增函数.又f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),f(2m)=f(0),且0log23log25,所以f(0)f(log23)f(log25),即f(2m)f(log0.53)f(log25).所以cab.(2)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)f(m)⇔f(|1-m|)f(|m|).又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,所以|1-𝑚||𝑚|,-2≤1-𝑚≤2,-2≤𝑚≤2,解得-1≤m12.答案解析关闭(1)C(2)-1,12命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-题后反思1.单调性是函数在其定义域上的局部性质,函数的单调性使得自变量的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.2.奇偶性和周期性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.3.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0”“偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-对点训练2(1)已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足mn,且f(m)=f(n).若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则n+m=.(2)已知函数f(x)=𝑥2+1,𝑥≥0,1,𝑥0,则满足不等式f(1-x2)f(2x)的x的取值范围是.答案解析解析关闭(1)因为0mn,且f(m)=f(n),所以0m1n,且m=1𝑛.因为f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,0m2mn,所以f(x)在区间[m2,n]上的最大值为f(m2)=|log2m2|=2,所以m2=14.又0m1,所以m=12,n=2,所以m+n=52.(2)当x≥0时,f(x)=x2+1是增函数;当x0时,f(x)=1.因此由题设f(1-x2)f(2x),得1-𝑥20,2𝑥0或1-𝑥22𝑥,2𝑥≥0,解得-1x0或0≤x2-1.故所求实数x的取值范围是(-1,2-1).答案解析关闭(1)52(2)(-1,2-1)命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-函数的图象及其应用【思考】如何根据函数的性质判断函数的图象?例3(2015北京高考)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1x≤1}D.{x|-1x≤2}答案解析解析关闭如图,作出函数f(x)与y=log2(x+1)的图象.易知直线BC的方程为y=-x+2,由𝑦=-𝑥+2,𝑦=log2(𝑥+1)得D点坐标为(1,1).由图可知,当-1x≤1时,f(x)≥log2(x+1),所以所求解集为{x|-1x≤1}.答案解析关闭C命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-题后反思因为函数的图象直观地反映了函数的性质,所以通过对函数性质的研究能够判断出函数的图象.通过对函数的奇偶性、单调性、周期性以及对称性的研究,观察图象是否与之相符合,有时还要看函数的零点和函数图象与x轴的交点是否相符.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-对点训练3(1)(2015安徽高考)函数f(x)=𝑎𝑥+𝑏(𝑥+𝑐)2的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a0,b0,c0B.a0,b0,c0C.a0,b0,c0D.a0,b0,c0(2)已知函数f(x)=log2𝑥,𝑥0,log12(-𝑥),𝑥0.若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是.答案解析解析关闭(1)由图象知f(0)=𝑏𝑐20,因此b0.函数f(x)的定义域为(-∞,-c)∪(-c,+∞),因此-c0,c0.而当x→+∞时,f(x)0,可得a0,故选C.(2)(方法一)由题意作出y=f(x)的大致图象,如图.显然当a1或-1a0时,满足f(a)f(-a).(方法二)当a0时,log2alog12a,即log2a0,则a1.当a0时,log12(-a)log2(-a),即log2(-a)0,则-1a0.故-1a0或a1.答案解析关闭(1)C(2)(-1,0)∪(1,+∞)命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-利用函数思想求参数的取值范围【思考】在不等式恒成立的前提下,如何求不等式中参数的取值范围?例4已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当x∈(-3,2)时,f(x)0;当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)0.(1)求f(x)在区间[0,1]内的值域;(2)当c为何值时,不等式ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立?命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-解:由题意得x=-3和x=2是函数f(x)的零点,且a≠0,则0=𝑎·(-3)2+(𝑏-8)·(-3)-𝑎-𝑎𝑏,0=𝑎·22+(𝑏-8)·2-𝑎-𝑎𝑏,解得𝑎=-3,𝑏=5,故f(x)=-3x2-3x+18.(1)如图所示,由图象知,函数在区间[0,1]内单调递减,则当x=0时,y=18;当x=1时,y=12.故f(x)在区间[0,1]内的值域为[12,18].命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-(2)(方法一)令g(x)=-3x2+5x+c.∵g(x)在56,+∞上单调递减,∴要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立,则需要g(x)max=g(1)≤0,即-3+5+c≤0,解得c≤-2.∴当c≤-2时,不等式ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立.(方法二)不等式-3x2+5x+c≤0在[1,4]上恒成立,即c≤3x2-5x在[1,4]上恒成立.令g(x)=3x2-5x,∵x∈[1,4],且g(x)在[1,4]上单调递增,∴g(x)min=g(1)=3×12-5×1=-2,∴c≤-2.即当c≤-2时,不等式ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题二2.1基本初等函数、函数的图象和性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-题后反思恒成立问题大多是在不等式中,已知变量的取值范围,求参数的取值范围,常用的处理方法有:(1)分离参数法:在给出的不等式中,若能分离出参数,即a≥f(x)恒成立,只须求出f(x)max,则a≥f(x)max;若a≤f(x)恒成立,只须求出f(x)min,则a≤f(x)min,转化为函数求最值.若不能直接解出参数,则可将两变量分别置于不等式的两边,即