高考数学第二章第11讲

第11讲变化率与导数、导数的计算第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的____________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为____________________________________．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝________________________为f(x)的导函数．切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝________f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logax(x0，a0且a≠1)f′(x)＝______________f(x)＝lnx(x0)f′(x)＝_____________________－sinxex1xlna1x0nxn－1栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝_______________________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；(3)f（x）g（x）′＝__________________________(g(x)≠0)．f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积．u对xyu′·ux′y对u栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)′＝nxn－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axlna混淆．(2)求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数；(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．(选修2­2P18练习T2(4)改编)函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosxB解析：y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．(2016·豫东、豫北十所名校联考)已知f(x)＝2exsinx，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为()A．y＝0B．y＝2xC．y＝xD．y＝－2xB解析：因为f(x)＝2exsinx，所以f(0)＝0，f′(x)＝2ex·(sinx＋cosx)，所以f′(0)＝2，所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．3解析：f′(x)＝alnx＋x·1x＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用4．(2016·长春质量检测)若函数f(x)＝lnxx，则f′(2)＝___________．1－ln24解析：由f′(x)＝1－lnxx2得f′(2)＝1－ln24.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用5．(2014·高考江西卷)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是_______________．(－ln2，2)解析：设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x，所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，所以－x0＝ln2，所以x0＝－ln2，所以y0＝eln2＝2，所以点P的坐标为(－ln2，2)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝lnxx2＋1；(5)y＝ln(2x－5)．考点一导数的计算栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解](1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(4)y′＝（lnx）′（x2＋1）－lnx（x2＋1）′（x2＋1）2＝1x（x2＋1）－2xlnx（x2＋1）2＝x2＋1－2x2lnxx（x2＋1）2.(5)令u＝2x－5，y＝lnu，则y′＝(lnu)′u′＝12x－5·2＝22x－5，即y′＝22x－5.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用导数计算的原则和方法(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．(2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1.求下列函数的导数：(1)y＝xnex；(2)y＝cosxsinx；(3)y＝exlnx；(4)y＝(1＋sinx)2.解：(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．(2)y′＝－sin2x－cos2xsin2x＝－1sin2x.(3)y′＝exlnx＋ex·1x＝ex1x＋lnx.(4)y′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′＝2(1＋sinx)·cosx.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度：(1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标；(3)已知切线方程求参数值．考点二导数的几何意义(高频考点)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．(2)(2015·高考陕西卷)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．1(1，1)[解析](1)因为f′(x)＝3ax2＋1，所以f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，所以切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．因为切线过点(2，7)，所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝1x(x0)的导数为y′＝－1x2(x0)，曲线y＝1x(x0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2.(1)(2016·威海质检)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝0(2)(2016·云南省调研)函数f(x)＝ln（2x＋3）－2x2x的图象在点(－1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．B12栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：(1)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋lnx，所以y0＝x0lnx0，y0＋1＝（1＋lnx0）x0，解得x0＝1，y0＝0.所以切点为(1，0)，所以f′(1)＝1＋l