53用正交变换化二次型为标准形

《线性代数》下页结束返回第三节用正交变换化二次型为标准形一、正交变换二、利用正交变换化二次型为标准形下页《线性代数》下页结束返回一、正交变换定义1设P为n阶正交矩阵，X、Y是中的n维向量，nR称线性变换X＝PY是上的正交变换.nR性质：（1）正交变换是可逆线性变换；（2）正交变换不改变向量的内积.定理2实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.定理1实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的ri重特征值li对应ri个线性无关的特征向量.下页定理3设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P使APPAPPT1),,,(,21ndiaglll其中为A的n个特征值，nlll,,,21正交矩阵P的n个列向量是矩阵A对应于这n个特征值的标准正交的特征向量.《线性代数》下页结束返回二、用正交变换化二次型为标准形利用正交变换化二次型为标准形的方法（熟练掌握）：(1)写出二次型的矩阵形式；(2)求出A的全部特征值λ1,λ2,…，λn；(3)对每一个特征值λi,解方程(λiE-A)X=0,求出基础解系，然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化；(4)将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为X＝PY；(5)所求二次型的标准形为2221122.nnfyyylll下页《线性代数》下页结束返回例1.用正交变换化下列二次型为标准形．323121232221321484363),,(xxxxxxxxxxxxf解:二次型的f系数矩阵为324262423A矩阵Ａ的特征方程为：324262423llllAE0)7)(2(2ll解得，λ1=-2,λ2=λ3=7．724)7(262023llll124262023)7(lll1240210023)7(lll21023)7(lll下页《线性代数》下页结束返回323121232221321484363),,(xxxxxxxxxxxxf对于λ1=-2，解方程组(-2E-A)X=0T)2,1,2(1对于732ll，解方程组(7E-A)X=0得基础解系T)1,0,1(2，T)2,4,0(3.将其正交化得将其单位化得T)32,31,32(1将其单位化得T)22,0,22(2T)62,322,62(3解得，λ1=-2,λ2=λ3=7．T)1,0,1(23,(1,4,1)T得基础解系例1.用正交变换化下列二次型为标准形．下页《线性代数》下页结束返回323121232221321484363),,(xxxxxxxxxxxxf622232322031622232,,321P令则通过正交变换321321622232322031622232yyyxxx将二次型),,(321xxxf化为标准形式232221772yyyf例1.用正交变换化下列二次型为标准形．下页《线性代数》下页结束返回例2.已知二次型)0(2334),,(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换X=PY化为标准形,442232221yyyf求a及正交变换矩阵P．解：f的矩阵A及标准形的矩阵Λ分别为3030004aaA200,040004由已知条件得即4(9-a2)=32解得a=1,a=-1(舍去)由A相似于对角阵Λ，得A的特征值为λ1=2，λ2=λ3=4．对于λ1=2，解方程组(2E-A)X=0得基础解系T)1,1,0(1下页故A相似于对角阵Λ，所以｜A｜＝｜Λ｜TPAP1PAP《线性代数》下页结束返回把ξ１单位化，得对应于λ1=2的单位特征向量T)21,21,0(1对于λ2=λ3=4，解方程组(4E-A)X=0（注意求基础解系的过程）4EA4-40000-14-304-30-10000-1101-100000100-1例2.已知二次型)0(2334),,(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换X=PY化为标准形,442232221yyyf求a及正交变换矩阵P．下页《线性代数》下页结束返回4EA4-40000-14-304-30-10000-1101-1000100-10000000100-1得(4EA)X0的一般解为x20x1x3其基础解系为T)0,0,1(2T)1,1,0(3例2.已知二次型)0(2334),,(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换X=PY化为标准形,442232221yyyf求a及正交变换矩阵P．下页《线性代数》下页结束返回正交化标准化得将32,T)0,0,1(2T)21,21,0(3所求的正交矩阵为2102121021010),,(321P例2.已知二次型)0(2334),,(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换X=PY化为标准形,442232221yyyf求a及正交变换矩阵P．下页得(4EA)Xo的一般解为x20x1x3其基础解系为T)0,0,1(2T)1,1,0(3000100-100《线性代数》下页结束返回例3.已知二次型323121232221321222),,(xxxxxbxxaxxxxxf通过正交变换X=PY化为标准形23224yyf，求a,b的值及正交变换矩阵P．解：f的矩阵A及标准形的矩阵Λ分别为111111abbA000,010004由A相似于对角阵Λ，得Ａ的特征值为λ1=0，λ2=1,λ3=4．对于λ1=0，解方程组(0E-A)X=0得基础解系T)1,0,1(1下页由已知条件得故A相似于对角阵Λ，所以｜A｜＝｜Λ｜Tr(A)=Tr(Λ)TPAP1PAP2(1)025ba31ab解得即《线性代数》下页结束返回把ξ１单位化，得对应于λ1=0的单位特征向量T)21,0,21(1类似可得对应于λ２=１的单位特征向量为T)31,31,31(2对应于λ３=４的单位特征向量为T)61,62,61(3所求的正交矩阵为61312162310613121),,(321P例3.已知二次型323121232221321222),,(xxxxxbxxaxxxxxf通过正交变换X=PY化为标准形23224yyf，求a,b的值及正交变换矩阵P．下页《线性代数》下页结束返回作业：176页16(1)17(1)(2)19结束