理论力学-陈立群-第10章能量方法习题解答

1第十章质点系动力学——能量方法习题解答10-1半径为r的匀质圆轮质量均为m，图（a）和（b）所示为轮绕固定轴O作定轴转动，角速度为；图（c）为轮作纯滚动，轮心速度为v。试写出它们的动能。解：（a）匀质圆轮作定轴转动，对O点的转动惯量为2222321mrmrmrJO，动能为2224321mrJTO。（b）匀质圆轮作定轴转动，对O点的转动惯量为222121mrmrJO，动能为2224121mrJTO。（c）匀质圆轮作作纯滚动，rv，动能为222432121mvJmvTC10-2匀质杆OA长l，质量为m，绕O点转动的角速度为；匀质圆盘半径为r，质量也为m。求下列三种情况下系统的动能：（1）圆盘固结于杆；（2）圆盘绕A点转动，相对杆的角速度为；（3）圆盘绕A点转动，相对杆的角速度为。解：（1）圆盘固结于杆。对O点转动惯量为2222221342131mrmlmlmrmlJO动能为22223812121mrlJTO（2）圆盘绕A点转动，相对杆的角速度为，则圆盘作平移，质心速度为lv。动能为：T=T杆+T盘=22222223221612121mlmvmlmvJO（3）圆盘绕A点转动，相对杆的角速度为，则圆盘的角速度为2。T=T杆+T盘=222222222412161212121mrlmmlJmvJCO2223231mrl。10-3质量为m1的匀质杆，长为l，一端放在水平面上，另一端与质量为m2、半径为r的匀质圆盘在圆盘中心O点铰接。圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v。求系统在此位置的动能。解：杆作平移，动能为21121vmT；题10-1图题10-2图题10-3图2圆盘作纯滚动，动能为222222432121vmJvmTO；总动能为221213241vmmTTT。10-4一小方块在倾角为的斜面上，高度为h处无初速地滑下，到达水平面后经过距离l而停住。设方块从斜面滑到水平面上时，在B处速度的大小不变。已知lh,,，求方块与接触面间的摩擦因数。解：小方块在运动过程中，初速度01v，末速度02v；重力的功mghWg，摩擦力的功分两部分：其一为在斜面上。法向反力为cos1mgFN，斜面长为sin1hs，摩擦力的功为ssNffhmgsfFWsincos111；其二为在水平面上。法向反力为mgFN2，水平面上距离为l，摩擦力的功为ssNfflmglfFW22；由动能定理得021ffg，解得sincossinlhhfs。10-5一质量为10kg物体在倾角为30°的斜面上无初速地滑下，滑过1m后压在一弹簧上，使弹簧压缩10cm。设弹簧刚度为50N/cm，求重物与斜面间的摩擦因数。解：物体在运动过程中，初速度01v，末速度02v；重力的功30sinsmgWg；摩擦力的功为：30cosfsmgWf；弹簧力的功：221kWe由动能定理得0efg，解得30cos2130sin2smgksmgf，将数据代入，得31.0f.10-6一复摆绕O点转动如图示。复摆的质量为m，对其质心C的回转半径为C。设xOC，问当x为何值时，摆从水平位置无初速地转到铅垂位置时的角速度为最大？并求此最大角速度。解：复摆对O点的转动惯量为22mxmJCO，动能为22222121xmJTCO，仅重力做功，mgxW，由动能定理得：mgxxmC22221，解出题10-4图题10-5图题10-6图32222xgxC。令0ddx，解得Cx，从而有Cgmax。10-7质量均为m，半径均为r的匀质圆盘和圆环，放在倾角为的斜面上，圆盘和圆环同时从静止开始在斜面上作纯滚动。试分析圆盘和圆环哪一个先到达地面？解：设圆盘质心的速度为1v，圆环质心的速度为2v，则圆盘的动能为2143mvT，圆环的动能为22mvT，重力的功为sinmgsW，s为圆盘或圆环的质心沿斜面滑过的距离。由动能定理：WT，得圆盘：sin4321mgsmv；圆环：sin21mgsmv。解得，3sin21gsv，sin2gsv。因21vv，所以圆盘先到达地面。10-8图示冲床冲压工件时冲头受的平均工作阻力F=52kN，工作行程s=10mm，飞轮的转动惯量J=40kgm2，转速n=415r/min。假定冲压工件所需的全部能量都有飞轮供给，计算冲压结束后飞轮的转速。解：飞轮的动能：23021nJT，工作阻力的功：FsW，由动能定理，WTT12，导出2212302JFsnn，代入数据，得冲压结束后飞轮的转速为min/r1.4122n.10-9重物A质量为m1，系在绳索上跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上，滑轮B的半径为R，与半径为r的滚子C固结，两者总质量为m2，对O轴的回转半径为。当重物A下降时，滚子C沿水平轨道滚动而不滑动，试求重物A的加速度。解：取整个系统为研究对象，自由度为1。设重物速度为Av，则轮的角速度rRvA，轮心速度为AOvrRrv。系统的动能为22222122121212121rRvrmvmJvmTAAPA。运动过程中仅重力做功，ygmW1，y为重物下降的距离。由动能定理，WTT0，0T为初始动能。得题10-8图题10-9图题10-7图4ygmTvrRrmmA1022222121.等式两边对时间求导，注意到tyvAdd，导出：grmrRmrRmaA2222121。10-10匀质圆盘质量为m，半径为r，可沿水平面作纯滚动，刚度系数为k的弹簧一端固定于B，另一端与圆盘中心相连。已知弹簧为原长时圆盘的角速度为，试求：圆盘向右运动到达最右位置时，弹簧的伸长量、圆盘的角加速度以及圆盘与水平面间的摩擦力。解：取圆盘为研究对象，圆盘的初动能为：2243mrT，弹簧变形为x时圆盘的角速度为1，动能为：212143mrT。运动过程中仅弹簧力做功221kxW。由动能定理，WTT1，得222122143kxmr。（a）当圆盘向右运动到达最右位置时，01，导出弹簧的伸长量为kmrx23max。将式（a）等号两边对时间求导，注意到rtxdd，得krxmr223，当圆盘向右运动到达最右位置时，maxxx，导出圆盘的角加速度mk62，负号表示与角速度方向相反。此时，圆盘的受力如图示，由质心运动定理得，eOFFma，导出：6mkrF。10-11质量为15kg的细杆可以绕O轴转动，杆A端连接一刚度系数为k=50N/m的弹簧。弹簧另一端固结于B点，弹簧原长1.5m。试求杆从水平位置以初角速度rad/s1.00落到图示位置时的角速度。解：设杆落到图示位置时的角速度为，动能定理为egWWTT01其中：202061mlT，212161mlT，60sin2lmgWg，212021kWe。代入后导出，20212013233klg代入数据后得，rad/s93.1。题10-10图题10-11图510-12平面机构由两匀质杆AB和BO组成，两杆的质量均为m，长度均为l，在铅垂平面内运动。在杆AB上作用一不变的力偶M，从图示位置由静止开始运动，不计摩擦。求当杆端A即将碰到铰支座O时杆端A点的速度。解：以杆AB和BO组成的平面机构为研究对象，自由度为1，当杆端A即将碰到铰支座O时，0。BO杆的动能为2261mlTBO，AB杆的动能为221ABCABJT，其中，222122823121mllmmlJABC功为：cos1mglMW。由动能定理，得cos13422mglMml，解得cos1321mglMml，从而cos132mglMmlvA。10-13匀质杆AB长为l，质量为2m，，两端分别与质量均为m的滑块铰接，两光滑槽互相垂直。设弹簧刚度为k，且当AB杆水平时弹簧为原长。若机构在60时无初速地开始运动，试求当杆AB处于水平位置时的角速度和角加速度。解：取系统为研究对象，系统的动能为22222265261cos21sin21mlmllmlmT功为22cos121sin21klmglW由动能定理列出222260cos12160sin2165klmglml，将数据代入，导出mlklmg20336。为求AB杆的角加速度，杆在任意位置时，由动能定理列出222260coscos21sin60sin2165klmglml，（a）将(a)式等号两边对时间求导，注意到tdd，导出sin60coscoscos213522klmglml，将数据代入，得lg103.题10-12图题10-13图610-14测量机器功率的动力计，由胶带ABCD和杠杆BF组成。胶带具有铅直的两端AC和BD，并套住机器滑轮的下半部，杠杆支点为O。借升高或降低支点O，可以改变胶带的张力，同时变更轮与胶带间的摩擦力。杠杆上挂一质量为3kg的重锤，使杠杆BF处于水平的平衡位置。如力臂l=500mm，发动机转速n=240r/min，求发动机的功率。解：取杠杆BF为研究对象，0Om，021GlrFF发动机传递的力矩为mglrFFM21于是发动机的功率为30nmglMP，将数据代入，得P=0.369kW.10-15鼓轮B质量为m，内外半径分别为r和R，对转轴O的回转半径为，其上绕有细绳，一端吊一质量为m的物块A，另一端与质量为M、半径为r的匀质圆轮C相连，斜面倾角为，绳的倾斜段与斜面平行。试求：鼓轮的角加速度、斜面的摩擦力以及连接重物A的绳子的张力（表示为的函数）。解：一）取整个系统为研究对象，以鼓轮的转角为广义坐标，系统的拉氏函数为gMrmRMrRmVTLsin32412222代入拉氏方程，0sin3221222gMrmRMrRm，解得22232sin2MrRmmRMrg。二）取重物为研究对象，列出质点动力学方程：AATAmaGF，其中RamgGAA,，解得RgmFTA三）取轮C为研究对象，由平面运动微分方程，CCJm，221mrFr，解得MrF21。10-16用拉格朗日方程解题10-9。解：取整个系统为研究对象，自由度为1。选重物下降的距离y为广义坐标，重物速度为yvA，轮的角速度rRy，轮心速度为yrRrvO。系统的动能为222221221212121yrRrmmJvmTPA。题10-14图题10-15图7势能为ygmV1。拉氏函数为ygmyrRrmmVTL122222121。代入拉氏方程0dd122221gmyrRrmmyLyLt，导出：grmrRmrRmyaA2222121。10-17用拉格朗日方程建立题10-10中圆盘的运动微分方程。解：取圆盘为研究对象，弹簧变形为x时圆盘的角速度为rx1，动能为：21243mrT，弹性势能221kxV。拉氏函数为222143kxxmVTL，因L不显含t，所以存在能量积分，CVT，即Ckxxm222143，由初始条件得，243rmC，