计数原理(最全面的方法汇总)

计数原理（排列组合）插空法，挡板法，捆绑法，优选法，平均分配问题等例题精选+练习一、挡板法（插板法、隔板法、插刀法）将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为挡板法。(1)例题解读【例1】共有10完全相同的球分到5个盒里，每个盒至少要分到一个球，问有几种不同分法？解析：我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用4个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的5份，每个盒子依次按盒子序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个、5个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了5个班中。【基本题型的变形（一）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.A．35B．28C．21D．45解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球的总数为8+3×1=11，此题就有C（10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。【基本题型的变形（二）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值S（s＞1，且每组的s值可以不同），问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变为上面我们提到的变形（一）的问题了，我们也就可以用插板法来解决。【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？解析：编号1：至少1个，符合要求。编号2：至少2个：需预先添加1个球，则总数-1编号3：至少3个，需预先添加2个，才能满足条件，后面添加一个，则总数-2则球总数15-1-2=12个放进3个盒子里所以C（11，2）=55（种）（2）练习强化1.现有10个相同的篮球全部分给7个班级，每班至少一个，问共有多少种不同的分发？842.某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（C）A.7B.9C.10D.123.有9颗相同的糖，4天吃完，每天至少吃一颗，有多少种吃法？564.有9颗相同的糖，4天内吃完，共有多少种吃法？2865.方程x+y+z=10的正整数解有36组.6.方程x+y+z=10的自然数解有55组.二、插空法插空法就是对于解决某几个元素要求不相邻的问题时，先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置。首要特点就是不相邻。（1）例题解读1.数字问题【例】把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有2.节目单问题【例】在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？解析：-o-o-o-o-o-o-六个节目算上前后共有七个空位，那么加上的第一个节目则有种方法；此时有七个节目，再用第二个节目去插八个空位有种方法；此时有八个节目，用最后一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法为：。3.关灯问题【例】一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位（用不亮的3盏灯去插剩下亮的6盏灯空位，就有7个空位）共有种方法，因此所有不同的关灯方法为种。4.停车问题【例】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有种方法，要求空位置连在一起（剩下4个空位在一起，来插入8辆车，有9个空位可以插），将空位置插入其中有种方法。所以共有种方法。5.座位问题【例】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？解法：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有种。（2）练习强化1.有7个学生排成一排照相，其中甲和乙不相邻的排法有多少？36002.有4个男生，3个女生排成一排，女生不相邻的排法？14403.高三（1）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不联排，则不同的排法种数是36004．一张节目表上原有3个节目，如果保持这三个节目的相对顺序不变，再添加2个新节目，有多少种安排方法？205.从1-100当中选出3个数互不相邻，请问一共有多少种选法？152096三、捆绑法所谓捆绑法是指在做排列的题目时，解决某些元素相邻(要求在一起)问题常用捆绑法：把相邻元素看作一个整体，再与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列。（1）例题讲解例题1、A、B、C、D、E五人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种排法。解析：先将A、B捆绑在一起，共有A22=2种，再用他们的整体和C、D、E在一起排，共有A44=24，共有2*24=48例题2、现有6个不同的球全部放入5个不同的盒子，每个盒子里至少一个球，一共有多少种方法？解答：根据题目要求，则其中一个盒子必须得放2个，其他每个盒子放1个球，所以从6个球中挑出2个球看成一个整体，则有，这个整体和剩下4个球放入5个盒子里，则有。方法是（2）练习强化1.有7名学生排成一排照相，期中甲乙相邻，有多少种方法？14402.有4名老师被分配到3所学校，每个学校至少一名教师，共有多少种方法？36四、平均分配和部分平均分配问题(1)例题讲解1.均分无分配对象的问题例题1：把4个人平均分成两组，一共有多少种分法？错误答案：=6错误思路：先从4人中抽取2人作为一组，剩下的再抽取2人作为一组错误原因：在抽取过程中，人为考虑了排列问题，例如先抽取甲乙，剩丙丁和先抽取丙丁，剩甲乙是同一种情况，但答案计算了两次正确思路：先从4人中抽取2人作为一组，剩下的2人作为一组，然后再除以重复的倍数，重复的倍数与分组的数量相关，具体次数是组数的一个全排列题目剖析：学生在第一次接触这种问题时，大部分人都会犯这种错误，主要原因是思维容易受到表象的欺骗而产生错误，而且学生根本注意不到自己所犯的错误，面对这种问题，最好的方式就是让学生通过错误学习。例题2：把6个人平均分成三组，一共有多少种分法?根据基础题型的解答思路，首先从6个人中抽取2人作为一组，再从剩下的4人中再抽取2人作为一组，剩下的2人作为一组，共有种方法，因为在抽取过程中，存在一个组与组之间的排列问题，即一种分组被重复了次，因此最后答案是:小结：被平均分成了n组，最终重复了次。部分均分问题：现在要把5个人分成3组，每个组至少有1个人，问共有多少种分组方式？解析：这种题型属于部分均分问题，即在整个分组问题中，局部会出现平均分配，首先需要先进行分类，一共会出现2种情况，第一种：有两个组有2人，一个组有1人；第二种：有两个组有1人，一个组有3人；分别计算每种情况的数量，再累加。错误思路：如果是第一种情况，先从5人中抽取2人，再从3人中抽取2人，最后还剩1人，一共分成了3组，因此除以3的阶乘错误原因：把3个组看成了相同的组正确思路：先从5人中抽取2人，再从3人中抽取2人，剩下的一人一组，这个时候只有前面两个分组的数量相同，因此会存在排列问题，只需除以2的阶乘2.均分有分配对象的问题方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数例题3.把6名学生平均分配到三个班，每班2人，一共有多少种分法?解析：先分组后排序，分步乘法，即（2）练习强化1.共有12本不同的书（1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？（2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？138602.有6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？903.有12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五个人有多少种不同的分法？138600优选法：对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排确定。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。注意：看特殊，分步、分类，限制完，自由排，注意“0”。难点：不管是位置优先还是元素优先，都要看清是分类还是分步来解决问题；注意“0”，题目中往往对于“0”有暗含的限制条件。（2）例题讲解例题1.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？解析一：利用位置优先方法。偶数则要求个位为偶数，小于50000则首位要小于5。:第一步，首先看个位，从2个偶数中选择有C12种选法；第二步，看首位，从个数上已选数字和5之外的数字选，则有C13种选法；第三步，对于剩下的三个位置没有限制，则可以随意选择剩下的三个数字排上去，则有A33种选法。根据乘法计数原则，共有：C12×C13×A33=36。解析二：利用元素优先方法。第一步，从数字2、4中选一个放在个位上，有C12种选法；第二步，从个数上已选数字和5之外的数字选一个放在首位上，则有C13种选法；第三步，对于剩下的三个数字没有限制，则可以随意安排到剩下的三个数位上去，则有A33种选法。根据乘法计数原则，共有：C12×C13×A44=36。（2）练习强化1.小新、小呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；5040（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.720（3）七个人排成一排，小新、小呆必须有一人站在中间.14403333222426.AACCC（4）七个人排成一排，小新、小呆必须都站在两边.240（5）七个人排成一排，小新、小呆都没有站在边上.2400（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.5040（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、小呆不在同一排。2880（8）小新不在首位.4320（9）小新不在首位，小呆不在尾部.30002.由数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有多少个？42