电子科大-材料力学-第九章 压杆稳定问题

材料力学电子科技大学2012/1/21第九章压杆稳定问题材料力学电子科技大学2012/1/21知识回顾拉力作用下的杆件构件发生断裂bt构件发生显著的塑性变形s低碳钢铸铁压力作用下的短杆构件发生断裂bc构件发生显著的塑性变形s低碳钢铸铁！强度问题材料力学电子科技大学2012/1/21问题：为什么在低碳钢和铸铁轴向压缩试验中选择短柱做为试件？细长杆件受压时，强度不是影响其工作能力的主要因素，必须考虑其保持直线状态平衡的能力。F1F1F2F2材料力学电子科技大学2012/1/21本章内容{稳定性的概念{两端铰支细长杆的临界载荷{两端非铰支细长杆的临界载荷{中小柔度杆的临界应力{压杆稳定条件与合理设计材料力学电子科技大学2012/1/219-1压杆稳定的相关概念材料力学电子科技大学2012/1/211.什么是稳定性？构件保持原有平衡形式的能力。直杆：直线状态薄壁圆筒：圆形横截面状态材料力学电子科技大学2012/1/212.构件何时会失去稳定性？FFcr以两端铰支杆件为例FF构件在直线状态的平衡是稳定的FF=Fcr构件在曲线状态的平衡FFFcr稳定吗？杆件的受力性质发生了改变！材料力学电子科技大学2012/1/21结论：对于压杆来说，当压力F达到或超过Fcr时，在外来扰动的作用下，压杆不能保持原有的直线平衡状态，称为失稳。Fcr临界载荷是压杆保持直线平衡构形所能承受的最大载荷AFcrcr=临界应力细长压杆失稳破坏时，横截面上的压应力小于极限强度（屈服强度或强度极限），有时甚至小于比例极限。Ø解决压杆稳定问题的关键在于：确定压杆的临界载荷；将压杆的工作压力控制在由临界载荷所确定得许可范围内。材料力学电子科技大学2012/1/213.工程案例1907年加拿大圣劳伦斯河在架设魁北克大桥（全长548米）的施工过程时，由于悬臂桁架中的一根受压下弦杆失稳，造成桥梁倒塌，9000吨钢材全部坠入河中，变成一堆废墟，桥上施工的人员中75人遇难。材料力学电子科技大学2012/1/21脚手架中的压杆材料力学电子科技大学2012/1/21桁架中的压杆自卸货卡车上的压杆材料力学电子科技大学2012/1/21内燃机配汽机构中的顶杆顶杆在推动摇臂的过程中受压。材料力学电子科技大学2012/1/21液压缸顶杆螺旋千斤顶的螺杆材料力学电子科技大学2012/1/21说明细长压杆失稳破坏时，横截面上的压应力小于极限强度（屈服强度或强度极限），有时甚至小于比例极限。失稳破坏和强度不足的破坏时两种性质完全不同的失效。失稳现象由于其发生的突然性和破坏的彻底性（整体破坏），往往造成灾难性的后果。因此引起力学界和工程界的高度重视。稳定性和强度、刚度被列为工程构件正常工作的三个基本要求。材料力学电子科技大学2012/1/219.2两端铰支细长杆的临界载荷材料力学电子科技大学2012/1/21对于细长压杆来说，当轴向压力F等于临界载荷Fcr时，压杆在直线平衡构形附近无穷小的邻域内存在微弯的平衡构形。因此，压杆的临界载荷是使压杆在微弯状态下保持平衡的最小轴向压力。FFFcrFF=FcrFFFcr一、临界载荷的欧拉公式材料力学电子科技大学2012/1/21力学模型：在临界载荷作用下，细长压杆处于微弯的平衡状态。理想压杆：压杆轴线是理想直线，压力F的作用线与轴线完全重合，而且材料是均匀连续的。临界载荷求解的模型w材料力学电子科技大学2012/1/21设在轴向力F作用下，压杆处于微弯平衡状态。当杆内应力不超过材料的比例极限时，压杆挠曲轴方程为wEIxMdxwd)(22=FwxM=)(用截面法分析内力，则截面上的弯矩)(xMw材料力学电子科技大学2012/1/21EIxMdxwd)(22=FwxM=)(022=+wEIFdxwd令EIFk=20222=+wkdxwd该微分方程的通解为kxBkxAwcossin+=根据两端铰支杆的边界条件000====wlxwx0=BkxAwsin=0sin=klA...)2,1,0(==nnkl材料力学电子科技大学2012/1/21...)2,1,0(==nnklEIFk=2...)2,1,0(222==nlEInF2min2crEIFFl=两端铰支压杆临界力的欧拉公式此公式的应用条件：1.理想压杆2.线弹性范围内3.两端为铰支座时，F最小1=n材料力学电子科技大学2012/1/2122crEIFl=杆长截面惯性矩弹性模量影响临界载荷的因素材料力学电子科技大学2012/1/21练习题图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时。A.临界压力Fcr=π2EIy/l2，挠曲轴位于xy面内；B.临界压力Fcr=π2EIy/l2，挠曲轴位于xz面内；C.临界压力Fcr=π2EIz/l2，挠曲轴位于xy面内；D.临界压力Fcr=π2EIz/l2，挠曲轴位于xz面内；123hbIy=123bhIz=yzIIbh,微小弯曲变形发生在抗弯能力最小的纵向平面内。材料力学电子科技大学2012/1/21例题1两端铰支细长压杆如图，已知材料为Q235钢，长度l=800mm,直径d=20mm，弹性模量E=200GPa。计算此压杆的临界载荷。解：22lEIFcr=64)20()800(/1020042232mmmmmmN=N41042.2=crSSFNAF==41038.7说明：细长压杆的承压能力由稳定性要求确定。材料力学电子科技大学2012/1/21FcrFcrxwl半个正弦波kxAwsin=)1(==nnkl两端铰支细长压杆xlAwsin=lx0材料力学电子科技大学2012/1/219.3两端非铰支细长压杆的临界载荷材料力学电子科技大学2012/1/211、压杆的其它支承形式一端自由，一端固定F一端铰支，一端固定F两端均固定F材料力学电子科技大学2012/1/21螺旋千斤顶的螺杆一端自由，一端固定；材料力学电子科技大学2012/1/21柱状销发动机连杆xy平面内，轴销对杆的约束接近于固定约束；xz平面内，轴销对杆的约束接近于铰支。材料力学电子科技大学2012/1/21连杆的摆动平面垂直于连杆的摆动平面两端铰支两端固定材料力学电子科技大学2012/1/212、一端自由一端固定压杆的临界载荷一端自由一端固定压杆在压缩载荷F作用下在微弯状态下保持平衡。FxxwEIxMdxwd)(22=当杆内应力不超过材料的比例极限时，压杆挠曲轴方程为FFF固定端支反力如图FwFxM=)(F)(xMFFw材料力学电子科技大学2012/1/21EIxMdxwd)(22=FwFxM=)(EIFwEIFdxwd=22令EIFk=22222kwkdxwd=+该微分方程的通解为++=kxBkxAwcossin根据压杆的边界条件000xww==0=+B00sin0cos=kBkAEIFEIFwdxwd=+220=A材料力学电子科技大学2012/1/21+=kxwcos...)2,1,0(2==nnkl++=kxBkxAwcossin0=+B0=AFxllx==w+=kxcos0cos=kl时，F最小1=n2min2(2)crEIFFl=lk2=材料力学电子科技大学2012/1/212.细长压杆临界载荷的一般公式22)(lEIFcr=l有效长度或相当长度长度因数，代表支承方式对临界载荷的影响。压杆的约束条件长度因数两端铰支一端固定，一端自由两端固定一端固定，一端铰支120.50.7材料力学电子科技大学2012/1/219.4中小柔度杆的临界应力材料力学电子科技大学2012/1/211.临界应力与柔度①临界应力：压杆处于临界状态时，横截面上的平均应力。AIlEAFcrcr×==22)(AI与截面尺寸有关，令AIi=2截面的惯性半径截面的面积AIi=材料力学电子科技大学2012/1/21AIlEAFcrcr×==22)(AIi=2222)(ilEAFcrcr×==22)(ilEcr=il=令22Ecr=欧拉临界应力公式为柔度或细长比称il=材料力学电子科技大学2012/1/2122Ecr=il反映压杆支持方式的影响反映压杆长度的影响反映截面几何性质的影响柔度越大，临界应力越小，压杆越容易发生失稳。②柔度同长度、截面性质、支撑条件有关il=材料力学电子科技大学2012/1/21材料和柔度都相同的两根压杆。A．临界应力一定相等，临界载荷不一定相等B．临界应力不一定相等，临界载荷一定相等C．临界应力和载荷都一定相等D．临界应力和临界载荷都不一定相等22Ecr=材料力学电子科技大学2012/1/212.欧拉公式的适用范围22)(lEIFcr=仅适用于杆内应力小于比例极限的情况。pcrp22cr=EpE2ppE2=令p时，欧拉公式才适用。p的压杆称为大柔度杆或细长杆。材料力学电子科技大学2012/1/213.临界应力的经验公式p的压杆处于临界平衡状态时，如果仍使用欧拉公式：临界应力大于比例极限不符合欧拉公式的适用条件。2222ppcrEE==①直线公式bacr=适用于合金钢、铝合金、铸铁与松木等材料的中柔度压杆。a、b为常数，与材料性能有关，单位MPap0中柔度压杆：材料力学电子科技大学2012/1/21柔度最低界限值0与材料的压缩极限应力有关scb塑性材料脆性材料0sab=0cbab=bacr=材料力学电子科技大学2012/1/21适用于结构钢与低合金钢等材料制成的非细长压杆。②抛物线型经验公式211bacr=p0适用范围③小柔度杆的临界应力这类压杆不会出现失稳现象，应按强度问题计算。满足0的压杆临界应力：cr=s小柔度杆（粗短杆）——材料力学电子科技大学2012/1/21（1）大柔度杆（欧拉公式适用）P22Ecr=（2）中柔度杆（经验公式）0Pbacr=0cuab=（3）小柔度杆（强度失效）scr=压杆的三种类型：0pPE2=()crcb=材料力学电子科技大学2012/1/21iL=cr临界应力总图bacr=Pcup022Ecr=FiguresofCriticalStresses小柔度压杆中柔度压杆大柔度压杆材料力学电子科技大学2012/1/21杆件长度l长度系数μ：由杆件约束情况确定惯性半径：根据截面形状确定/iIA=li=crs=crab=22crE=00Pp2ppE=0sab=crcrFA=临界载荷的计算材料力学电子科技大学2012/1/21100=p例题两根直径均为d的压杆，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件各不相同。1.比较两根压杆的临界载荷2.已知：d=160mm，E=200GPa,求：两根杆的临界载荷。材料力学电子科技大学2012/1/21il=44/64/24dddAIi===1.比较两杆柔度dmdma204/51==dmdmb184/95.0==显然ba,,cracrb22crE=,,cracrbFF材料力学电子科技大学2012/1/212.计算两杆临界载荷1251602000020===dma5.1121601800018===dmb100=p两杆都是大柔度杆，临界应力用欧拉公式计算。22Ecr=AFcrcr=22)(lEIFcr=或材料力学电子科技大学2012/1/21图示为由五根直径d=50mm的圆形钢杆组成边长为a=1m的正方形结构，材料为Q235钢，试求该结构的许用载荷。aABCFaDF200pMPa=235sMPa=200EGPa=3041.12()crMPa=中柔度杆的临界应力公式为Q235钢例题材料力学电子科技大学2012/1/211.求AB、BD和AD杆的内力AB杆和AD杆为受压杆，BD杆受拉2FFFADAB==FFBD=2.根据杆AB和AD的压杆稳定确定许可载荷4504mmdi==圆杆的惯性半径805041000===mmia杆AB和AD的柔度均为材料力学电子科技大学2012/1/219920010200322===MpaMPaEppp=80对中柔度杆3041.12()crMPa=6.6112.12353040==杆AB和AD为中柔度杆MPacr4.2148012.1304==kNmmmmNAFcrcr76.420)50(4/4.21422===临界