北师大版2020九年级数学：圆的知识点总结(史上最全的)

rddCBAOdrd=rrd图1rRd图2rRd图3rRd图4rRd图5rRd【文库独家】圆的总结集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线点与圆的位置关系:点在圆内dr点C在圆内点在圆上d=r点B在圆上点在此圆外dr点A在圆外直线与圆的位置关系:直线与圆相离dr无交点直线与圆相交dr有两个交点直线与圆相切d=r有一个交点圆与圆的位置关系:外离（图1）无交点dR+r外切（图2）有一个交点d=R+r相交（图3）有两个交点R-rdR+r内切（图4）有一个交点d=R-r内含（图5）无交点dR-rOCDABOEDCBAFEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAO:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE④⑤推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD圆心角定理圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵∠AOB和∠ACB是所对的圆心角和圆周角∴∠AOB=2∠ACB圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在⊙O中，∵AB是直径或∵∠C=90°∴∠C=90°∴AB是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形即：在△ABC中，∵OC=OA=OB∴△ABC是直角三角形或∠C=90°BCBDACAD圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：①∠AOB=∠DOE②AB=DE③OC=OF④BAEDOCBNMAEDCBAPBAOOEDCBANMAO注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。即：∵MN是切线，AB是弦∴∠BAM=∠BCA圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形∴∠C+∠BAD=180°B+∠D=180°∠DAE=∠C切线的性质与判定定理（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件∵MN是切线∴MN⊥OA切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PA=PBPO平分∠BPA圆内相交弦定理及其推论：（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P∴PA·PB=PC·PA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙O中，∵直径AB⊥CD∴22CEDEEAEBDCBAOECBADOBAOPODCBADECBPAOBAO1O2SlBAO（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线∴（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点∴O1O2垂直平分AB两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：在Rt△O1O2C中，（2）外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB=（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE:AE:OA=（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:OB:OA=弧长、扇形面积公式（1）弧长公式：（2）扇形面积公式：2PAPCPBPCPBPDPE22221122ABCOOOCO1:3:21:1:21:3:2180nRl213602nRSlR