电子科技大学《电路分析基础》钟洪声 视频配套课件8-1

第八章一阶电路分析由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。本章主要讨论由直流电源驱动的含一个动态元件的线性一阶电路。含一个电感或一个电容加上一些电阻元件和独立电源组成的线性一阶电路，可以将连接到电容或电感的线性电阻单口网络用戴维宁－诺顿等效电路来代替（如图8－1和8－2所示）。图8－1图8－2我们的重点是讨论一个电压源与电阻及电容串联，或一个电流源与电阻及电感并联的一阶电路。与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同，动态电路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同产生。仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应。仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。动态电路分析的基本方法是建立微分方程，然后用数学方法求解微分方程，得到电压电流响应的表达式。§8－1零输入响应图8-3(a)所示电路中的开关原来连接在1端，电压源U0通过电阻Ro对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经达到U0。在t=0时开关迅速由1端转换到2端。已经充电的电容脱离电压源而与电阻R并联，如图(b)所示。图8-3一、RC电路的零输入响应我们先定性分析t0后电容电压的变化过程。当开关倒向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即0CC)0()0(Uuu由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相同，即0CR)0()0(Uuu电阻的电流为RUi0R)0(该电流在电阻中引起的功率和能量为tdiRtWtRitp02RR2R)()()()(＝电容中的能量为)(21)(2CtCutW随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提供，这造成电容电压的下降。一直到电容上电压变为零和电容放出全部存储的能量为止。也就是电容电压从初始值uC(0+)=U0逐渐减小到零的变化过程。这一过程变化的快慢取决于电阻消耗能量的速率。为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由KVL得到0CRuu由KCL和电阻、电容的VCR方程得到tuRCRiRiuddCCRR代入上式得到以下方程)18()0(0ddCCtutuRC这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为stKtue)(C代入式(8－1)中，得到特征方程)28(01RCs其解为)38(1RCs－称为电路的固有频率。于是电容电压变为0te)(CRCtKtu式中K是一个常量，由初始条件确定。当t=0+时上式变为KKuRCte)0(C根据初始条件0CC)0()0(Uuu求得0UK)c48()0(e)()()b48()0(edd)()a48()0(e)(0CR0CC0CtRUtititRUtuCtitUtuRCtRCtRCt最后得到图8－3(b)电路的零输入响应为图8-3从式8－4可见，各电压电流的变化快慢取决于R和C的乘积。令=RC，由于具有时间的量纲，故称它为RC电路的时间常数。引入后，式8－4表示为图8－4RC电路零输入响应的波形曲线)c58()0(e)()()b58()0(edd)()a58()0(e)(τ0CRτ0CCτ0CtRUtititRUtuCtitUtuttt下面以电容电压为例，说明电压的变化与时间常数的关系。τ0Ce)(tUtu当t=0时，uC(0)=U0，当t=时，uC()=0.368U0。表8－1列出t等于0，，2，3，4，5时的电容电压值，由于波形衰减很快，实际上只要经过4～5的时间就可以认为放电过程基本结束。t02345uc(t)U00.368U00.135U00.050U00.018U00.007U00电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为0020202RR21d)e(d)(CUtRRUtRtiWRCt＝计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量的确全部转换为电阻消耗的能量。图8－4RC电路零输入响应的波形曲线由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响电容电压衰减的快慢，我们可以从能量消耗的角度来说明放电过程的快慢。例如在电容电压初始值U0不变的条件下，增加电容C，就增加电容的初始储能，使放电过程的时间加长；若增加电阻R，电阻电流减小，电阻消耗能量减少，使放电过程的时间加长。这就可以解释当时间常数=RC变大，电容放电过程会加长的原因。例8-1电路如图8－5(a)所示，已知电容电压uC(0-)=6V。t=0闭合开关，求t0的电容电压和电容电流。图8－5例8－1解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到V6)0()0(CCuu将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻，其电阻值为k10k)36368(oR得到图(b)所示电路，其时间常数为s05.0s105s1051010263RC根据式8－5得到)0(mAe6.0mAe10106edd)()0(Ve6e)(202030CC200CtRUtuCtitUtuttttt电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得iR(t)mAe2.0mAe6.031)(633)(2020CRtttiti二、RL电路的零输入响应电感电流原来等于电流I0，电感中储存一定的磁场能量，在t=0时开关由1端倒向2端，换路后的电路如图(b)所示。图8-6我们以图8－6(a)电路为例来说明RL电路零输入响应的计算过程。在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即iL(0+)=iL(0-)=I0，这个电感电流通过电阻R时引起能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直到电流变为零为止。综上所述，图(b)所示RL电路是电感中的初始储能逐渐释放出来消耗在电阻中的过程。与能量变化过程相应的是各电压电流从初始值，逐渐减小到零的过程。列出KCL方程0LRLRiRuii代入电感VCR方程dtdiLuuLLR得到以下微分方程)68(0ddLLitiRL这个微分方程与式(8－1)相似，其通解为)0(e)(LtKtitLR代入初始条件iL(0+)=I0求得0IK最后得到电感电流和电感电压的表达式为)b78()0(dd)()a78()0(ee)(τ00LLτ00LteRIeRItiLtutIItittLRttLR其波形如图所示。RL电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于常数。由于=L/R具有时间的量纲，称为RL电路的时间常数。图8-7例8-2电路如图8－8(a)所示，开关S1连接至1端已经很久，t=0时开关S由1端倒向2端。求t0时的电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。图8-8解：开关转换瞬间，电感电流不能跃变，故A1.0)0()0(LLii将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，得到的电路如图(b)所示。该电路的时间常数为1mss10200H2.03＝＝RL根据式8－7得到电感电流和电感电压为)0(Ve20Ve101.02.0dd)()0(Ae1.0e)(33310103LL10τ0LttiLtutItitttt通过对RC和RL一阶电路零输入响应的分析和计算表明，电路中各电压电流均从其初始值开始，按照指数规律衰减到零，一般表达式为tftfe)0()(因为电容或电感在非零初始状态时具有初始储能，各元件有初始电压电流存在，由于电阻要消耗能量，一直要将储能元件的储能消耗完，各电压电流均变为零为止。2002年春节摄于成都人民公园必作习题：第318页习题八：8–2、8-5