衡阳八中2016年高一下学期数学竞赛试题有答案

2016年衡阳市八中高一数学竞赛试卷一．选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共50分）1.集合13AxxxN，的子集有（C）A．4个B．8个C．16个D．32个2.在四边形ABCD中，ABm，CDn，则()()ABDCCBAD（D）A.22mnB.22mnC.22nmD.22mn3．给出下列四个判断：（1）若a，b为异面直线，则过空间任意一点P，总可以找到直线与a，b都相交；（2）对平面，和直线l，若，l，则l∥；（3）对平面，和直线l，若l，l∥，则；（4）对直线1l，2l和平面，若1l∥，21ll∥，且2l过平面内一点P，则2l其中正确的判断有（B）A．1个B．2个C．3个D．4个4.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，该四棱锥的体积是（A）正视图侧视图A．3Ｂ．23Ｃ．33Ｄ．63俯视图5．已知3sin5，且(,)2，函数()sin()(0)fxx的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2，则()4f的值为（B）A．35B．45C．35D．456．设3log2a，ln2b，125c，则（C）A．cbaB．acbC．cabD．cba7．函数221)(xxxfx（A）A是偶函数但不是奇函数B是奇函数但不是偶函数C既是偶函数又是奇函数D既不是偶函数也不是奇函数11２1２１１１8．已知函数sin(0)yaxba的图象如图所示，则函数log()ayxb的图象可能是（A）9.设圆222)5()3(ryx上有且只有两点到直线234yx的距离等于1,则圆的半径的取值范围是(C)A.561rB.54rC.5654rD.1r10．定义1fxfx，1()nnfxffx，已知221,0,()log,0.axxfxxx则31yfx的零点个数可能为(D)A．4B．5C．6D．7函数31yfx的零点个数，即函数3yfxfffx与1y交点的个数，根据已知图象可得0ffx或1,2ffx而0ffx即0fx或01fx，分别有2个解，而1,2ffx即0fx或1fx，分别有2个解，1个解，所以31yfx的零点个数可能为2+2+2+1=7，故选择D二．填空题（本大题共有5小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空5分，共25分）1．已知直线l：10xBy的倾斜角为，若45120，则B的取值范围为3(1)3，。2.已知底面是边长为2的正方形的四棱锥PABCD的顶点都在球O的表面上，且PA平面ABCD．若22PA,则球O的表面积为___16______．3．若直线yxb与曲线234yxx有2个不同的公共点，则实数b的取值范围是_____(122,1]_______．4.如果xxxxfcossin5sin)tan(2，那么2f56.5.已知,ab为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()cacb+=+()R，则c的最小值为22．由题意可得1cba，因为,ab为平面内两个互相垂直的单位向量。所以0,ba即1，所以可得22211111babacc，令222211211y21210yyy，此方程有实根，由22144102yyy，即212,22cc三．解答题（本大题共有6小题，共75分）16.如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD为平行四边形，045ADC，1ACAD，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，2PO，M为PD的中点．(1)证明//PB平面ACM；(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．17．在ABC△中，已知点(21)A，，(28)B，，且它的内切圆的方程为224xy，求点C的坐标。【答案】易知直线AB于圆O相切，直线AC、BC的斜率存在。设直线AC的方程为11(2)ykx，即11120kxyk。由直线AC与圆O相切，知121001221kk，解得134k。∴直线AC的方程为34100xy。设直线BC的方程为28(2)ykx，即22280kxyk。由直线BC与圆O相切，知222002821kk，解得2158k。∴直线BC的方程为158340xy。由34100158340xyxy，解得67xy。∴点C的坐标为(67)，。18．在△OAB的边OBOA,上分别有一点QP,，已知2:1:PAOP，2:3:QBOQ，连接BPAQ,，设它们交于点R，若,OAaOBbuurruuurr．（1）用ar与br表示ORuuur；（2）若1,2abrr，ar与br夹角为60，过R作ABRH交AB于点H，用ar与br表示OHuuur．【答案】（1）=+．（2）=+．【解析】试题分析：（1）由题意知=，=，从而由A，R，Q三点共线可得=+=+m（﹣）=（1﹣m）+m，同理化简可得=+（1﹣n），从而解得；（2）由A，H，B三点共线可得=λ+（1﹣λ），=（λ﹣）+（﹣λ），结合•=0解得即可．解：（1）==，=，由A，R，Q三点共线，可设=m．故=+=+m=+m（﹣）=+m（﹣）=（1﹣m）+m．同理，由B，R，P三点共线，可设=n．故=+=+n（﹣）=+（1﹣n）．由于与不共线，则有解得∴=+．（2）由A，H，B三点共线，可设=λ，则=λ+（1﹣λ），=﹣=（λ﹣）+（﹣λ）．又⊥，∴•=0．∴[（λ﹣）+（﹣λ）]•（﹣）=0．又∵•=||||cos60°=1，∴λ=，∴=+．19．已知集合M是满足下列性质的函数()fx的全体：在定义域内存在0x，使得00(1)()(1)fxfxf成立（1）若函数2()lg1afxMx，求实数a的取值范围；（2）若函数2()2xfxx，试证明：()fxM.解：（1）因为函数2()lg1afxMx，存在0xR，使得2200lglglg(1)112aaaxx即200(2)22(1)0axaxa有实根故当2a时，012x符合题意；当2a时，由0得：2640aa，得3535a且2a综上：3535a（2）函数2()2xfxx时，00012200000(1)()(1)2(1)23222xxxfxfxfxxx因为()222xgxx是单调递增函数，且(0)10,(1)20gg，故存在0x，使得00(1)()(1)fxfxf成立，即()fxM20．函数2,0,2cossin2mmg．（1）当3m时，求g的单调递增区间；（2）若01g恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）6,0；（2）224m．【解析】试题分析：（1）根据22cos1sin，同时设cost1,0，得到函数473223132322ttty，根据复合函数的单调性，cost在2,0上单调递减，所以tg在1,23上单调递减才是函数的单调递增区间，所以令123t，解得的取值范围；（2）将不等式范围转化为]cos22)cos2[(4cos2cos22m，再利用基本不等式求函数的最大值，得到m的取值范围．试题解析：（1）令cost1,0，473223132322ttty记4732)23()(2ttg，)(tg在23,0上单调递增，在1,23上单调递减．又cost在2,0上单调递减．令123t，解得60故函数)(xf的单调递增区间为6,0（2）由)(g－1得2cos2)cos2(m即]cos22)cos2[(4cos2cos22m]2,1[cos2]2,0[22cos22)cos2(，等号成立时.22cos故4－cos22)cos2[(]的最大值是.224从而224m．21．已知BA,分别是直线xy和xy上的两个动点，线段AB的长为32，D是AB的中点．（1）求动点D的轨迹C的方程；（2）若过点0,1的直线l与曲线C交于不同两点QP,．①当3PQ时，求直线l的方程；②设点0,mE是x轴上一点，求当PEQEuuruuur恒为定值时E点的坐标及定值．【答案】（1）223xy；（2）①3(1)yx；②E1,0，定值2．【解析】试题分析：（1）设点(,),(,),(,)DxyAaaBbb，通过D是AB的中点，AB的距离，列出方程即可求动点D的轨迹C的方程；（2）①若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点,PQ，分直线l的斜率存在和斜率不存在时两种情况讨论，根据3PQ和点到直线的距离32d，分别列出方程求解k的值，从而求得直线的方程；②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为(1)ykx，由消去y得22(1)kx22230kxk，由韦达定理及PE·QE，确定PEQE为定值2，当直线l的斜率不存在，求出(1,2)P，(1,2)Q，得到2PEQE，即可PEQE恒定值时E的坐标及定值．试题解析：(1)设D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),∵D是AB的中点，∴x＝2ab，y＝2ab，∵|AB|＝23，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12，∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝3.(2)①当直线l与x轴垂直时，P(1，2)，Q(1，－2)，此时|PQ|＝22，不符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为32，由2||1kk＝32，解得k＝3.故直线l的方程为y＝3(x－1).②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，由消去y得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－3＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1＋x2＝2221kk，x1x2＝2231kk，则PE＝(m－x1，－y1)，QE＝(m－x2，－y2)，∴PE·QE＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝m2－2221mkk＋2231kk＋k2(2231kk－2221kk＋1)＝2222(21)31mmkmk要使上式为定值须22213mmm＝1，解得m＝1，∴PE·QE为定值－2，当直线l的斜率不存在时P(1，2)，Q(1，－2)，由E(1，0)可得PE＝(0，－2)，QE＝(0，2)，∴PE·QE＝－2，综上所述当E(1，0)时，PE·QE为定值－2.