1.3正余弦定理的应用同步分层能力测试题(苏教版必修5)

正余弦定理的应用-同步分层能力测试题A组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．某人朝正东方向走了xkm后，向左转1500后，再向前走了3km，结果他离出发点恰好3km，那么x=。1．3或23.提示：由余弦定理知3=x2+32-6xcos300,解得x=3或23.2.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC的形状是三角形。2．等腰。提示:由2sinAcosB=sinC,知2sinAcosB=sin(A+B),∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.即cosAsinB-sinAcosB=0.∴sin(B-A)=0，∴B=A.3．一飞机沿水平方向飞行，在位置A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行了10000米，到达位置B时测得正前下方地面目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为米．3．50002。提示：由正弦定理得0010000xsin45sin30，得x=50002.4．在平行四边形ABCD中，已知AB=1，AD=2，1ABAD，则||AC=．4.7。提示：||||cos1ABADABADA，得cosA=12,A=600.故B=1200。由余弦定理知：AC2=12+22-4cos1200=7,||AC=7.5．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东300，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东___________，大小为___________km/h.5.60，203。提示：解法一：如图1，∠AOB=600,由余弦定理知OC2=202+202-800cos1200=1200,故OC=203。解法二：实质求||OAOB,平方即可。图16.把一30厘米的木条锯成两段，分别做钝角三角行ABC的两边AB和BC，且∠ABC=1200，AB=时，才能使第三条边AC最短。6.15.提示：在△ABD中，设AB=x（0＜x＜30）由余弦定理，得AC2=x22)30(x－2x（30-x）cos1200=900-30x+x2=（x—15）2+675，所以把AB锯成15厘米时第三条边AC最短7.在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A、B、C，且BCACA222sinsinsinsinsin。则角B=。OCBA7.3.提示：由正弦定理可设asinsinsinbcABC=k.sin,sin,sin.abcABCkkk代入已知式，可得acbca222，由余弦定理，2122cos222acacacbcaB，.3B8．如图2，在四边形ABCD中，已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135，则BC=。8.82。提示：在△ABD中，设BD=x，则BDAADBDADBDBAcos2222即60cos1021014222xx，图2整理得：096102xx，解之：161x，62x（舍去）。由正弦定理：BCDBDCDBBCsinsin∴2830sin135sin16BC。二．解答题(本大题共4小题，共54分)9．在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°方向把球击出，根据经验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样布置，游击手能否接着球？解．如图3：设接球点为B，O为守垒，A为游击手出发点15sinsinABOABOB，sin15sin62621,44OBOABABvtvt故不能接着球．图310.在ΔABC中，b=asinC且c=asin(900-B)，判定ΔABC的形状。解：∵c=asin(900-B)=acosB=cbcaacbcaa2222222222222cbca是直角Abca222；又∵1sinsinsinAACcAa是直角CacCcasinsin由条件Cabsincb∴综上得ΔABC是等腰直角三角形。11.平面内三个力1F，2F，3F作用于同丄点O且处于平衡状态，已知1F，2F的大小分别为1kg，226kg，1F、2F的夹角是45°，求3F的大小及3F与1F夹角的大小.11.解如图4，设1F与2F的合力为F，则|F|=|F3|.∵∠F1OF2=45°∴∠FF1O=135°.在△OF1F中，由余弦定理135cos||||2||||||1121212FFOFFFOFOF=324.13||,31||3FOF即.又由正弦定理，得21||sin||sin111OFOFFFFOFF.图4∴∠F1OF=30°从而F1与F3的夹角为150°.答：F3的大小是（3+1）kg,F1与F3的夹角为150°.12.在ABC中，CBA、、所对的边长分别为cba、、，设cba、、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值。解法一：由余弦定理212cos222bcacbA，因此，60A在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理BBBCbcsin)120sin(sinsin321,21cot23sinsin120coscos120sinBBBB解得,2cotB从而.21tanB解法二：由余弦定理212cos222bcacbA，因此，60A，由222abccb，得.41532133411)(1)(22bcbcba所以.215ba①FF1F2F3O由正弦定理5123152sinsinAabB.由①式知,ba故∠B∠A，因此∠B为锐角，于是152sin1cos2BB，从而.21cossintanBBB说明求A的关键是利用余弦定理的变式：cosA=2222bcabc。另外，在三角形中内角和为1800也是常用的一个结论。备选题：1.为了测河宽，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标识物C，测得∠CAB=450，∠CBA=750，AB=120米，则河宽=。1.60+203.提示：把AB看成河岸，要求的河宽就是C到AB的距离，也就是ABC的边AB上的高。在ABC中，有正弦定理，得BC=0060sin45sin120=406（米）。设河宽为h=BCsin750=406×426=60+203.2.在△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知2a，3c，1cos4B．（1）求b的值；（2）求sinC的值．解：（1）由余弦定理，2222cosbacacB，得222123223104b，10b．（2）方法1：由余弦定理，得222cos2abcCab41091082210，∵C是ABC的内角，∴236sin1cos8CC．方法2：∵1cos4B，且B是ABC的内角，∴215sin1cos4BB．根据正弦定理，sinsinbcBC，得153sin364sin810cBCb．3.某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．解：如图5，在△ABP中，AB=30×6040=20，∠APB=30，∠BAP=120，由正弦定理，得：BPAABsin=BAPBPsin，即2120=23BP，解得BP=320．在△BPC中，BC=30×6080=40，由已知∠PBC=90，∴PC=22BCPB=2220)320(=720(海里)．图5所以P、C间的距离为720海里．B组一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.在△ABC中，若c=4,b=7,BC边上的中线AD的长为3.5，则a=.1.9.提示：设CD=DB=x,在△ACD中，由余弦定理，得osC=2227x3.527x.在△ABC中，由余弦定理，得cosC=2227(2x)4272x.∴2227x3.527x=2227(2x)4272x,解得x=4.5,a=9.2.如图6，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航行，追上乙船至少要h.2.34.提示：设用th，甲船能追上乙船，且在C处相遇。在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设∠ABC=α，∠BAC=β。图6ABC北45°15°ABC306060P∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理2222cosACABBCABBC，2212881202920()2ttt，212860270tt，（4t－3）（32t+9）=0，解得t=34，t=932（舍）.3．我国发射的“神舟六号”飞船开始运行的轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，测得近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，地球半径为6371km，则在椭圆轨道上的飞船看地球的最大视角一半的正弦值为。3.。解析：a+c=350+6371=6721,a-c=6371+200=6571.如图7，在A处看视角最大.sin∠BAF=。4.在△ABC中，已知a-b=4,a+c=2b且最大内角为1200，则a=。4.14.提示：由a-b=4和a+c=2b可得a＞b＞c，所以最大角为A=1200。图7由余弦定理，得cos1200=bcacb2222=-21，结合a-b=4，a+c=2b。可解得a=14。5.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得00153030BCDBDCCD，，米，并在点C测得塔顶A的仰角为060,则塔高AB=．5.156。提示：如图8，在BCD△中，1801530135CBD。由正弦定理得sinsinBCCDBDCCBD．所以30sin30152sin135BC．图8在ABCRt△中，tan152tan60156ABBCACB（m）。6.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为450和300，而且两条船与炮台底部连线成300角，则两条船相距米。6.1510。提示：设炮台顶位置为A，炮底为O，两船位置分别为B、C。在Rt△AOB中，BO=30米，在Rt△AOB中，AO=303米，在△BOA中，由余弦定理，得BC022230sin3303033030=2250，所以BC=1510米。二．解答题(本大题共2小题，共36分)7.在△ABC中，角A，B，C的对边为,,abc，向量(2cos,sin())2CmAB，(cos,2sin())2CnAB，m⊥n．（1）求角C；（2）若22221cba，试求)sin(BA的值．解：（1）由0nm得0)(sin22cos222BAC0)cos1(2cos12CC01coscos22CC即21cos,1cosCC因为C0，所以060C．(2)法一:由正弦定理可设asinsinsinbcABC=k，222222sin()sincossincosk22aacbbbcaABABBAackbc2222()13sin22224abccCckckk．（因为22221cba）法二:由22221cba有2221sinsinsin2ABC,再利用0120AB求解.8.如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（13）海里的B处有一艘走私船，在A