北京市高考文科数学样题及解析

北京市2010年高考文科数学参考样题安徽省灵璧师范陈伟样题选自高考数学北京卷和“北京市新课程高考形式与内容改革试题”一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【试题1】(2006年文史类第1题)设集合{|213}Axx，{|32}Bxx，则AB等于()A.{|31}xxB.{|12}xxC.{|3}xxD.{|1}xx【答案】A【说明】本题主要考查集合、交集的概念，一元一次不等式的解法.本题难度为0.94【试题2】(2003年文史类第1题)设0.914y，0.4818y，1.511()2y，则A.312yyyB.213yyyC.123yyyD.132yyy安徽省灵璧师范陈伟【答案】D【说明】本题考查指数函数的概念、指数的运算和指数函数的单调性.把1y、2y、3y都化成以2为底的指数幂，得1.812y，1.4412y，1.512y.由函数2xy在(,)上是增函数，且1.81.51.44，得132yyy.本题难度为0.61安徽省灵璧师范陈伟【试题3】(2007年文史类第3题)函数()sin2cos2fxxx的最小正周期是（）Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π【答案】B【说明】本题考查三角函数的周期性能及和角与差角公式.因为()sin2cos22sin(2)4fxxxx，所以()fx的最小正周期为22.本题难度为0.83【试题4】(2006年文史类第2题)函数1cosyx的图象A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线2x对称【答案】B【说明】本题考查余弦函数的性质、函数的奇偶性及其图像的对称性.本题难度为0.72【试题5】(2004年文史类第3题)设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同平面.给出下列四个命题：①若m，//n，则mn；②若//，//，m，则m；③若//m，//n，则//mn；④若，，则//.其中正确命题的序号是A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】A【说明】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系，并考查把符合语言、文字语言、图形语言进行转换的能力，以及空间想象能力.本题难度0.71【试题6】(2005年文史类第4题)若||1a，||2b，cab，且ca，则向量a与b的夹角为A.30B.60C.120D.150【答案】C【说明】本题考查向量、向量的模及向量的夹角等概念，考查向量的运算以及向量垂直的条件.由两向量的夹角公式cos||||abab和已知条件知，这里只需求得ab的值即可.由cab，得acaaab，再由已知求得1ab，1cos2，得120.本题难度为0.49【试题7】(由2005年文史类第5题改编)从原点向圆2212270xyy作两条切线，则这两条切线所成锐角的大小为Ａ．π6Ｂ．4Ｃ．3Ｄ．512【答案】C【说明】本题主要考查圆的方程、圆的切线的性质，考查数形结合的思想方法.把圆的方程化为22(6)9xy，可知该圆圆心坐标为(0,6)，半径为3.依题意作出图形(如图)，即可求AOB.在RtBOC中，由于||3BC，||6OC，故3AOB.【试题8】(2008年测试一第7题)甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如下表：成绩的标准1s、2s分别表示甲、乙两名运动员这次测试测试成绩的差，1x、2x分别表示甲、乙两名运动员这次平均数，则有A.1x2x，1s2sB.1x2x，1s2sC.1x2x，1s2sD.1x2x，1s2s【答案】B【说明】本题主要考查平均数、标准差的概念.由甲、乙成绩分布的对称性可得1x2x，再根据标准差是刻画成绩的分散与集中程度的量得到1s2s.本题难度为0.78安徽省灵璧师范陈伟【试题9】(2008年测试题改编)当如图所示的程序框图输出的结果为6时，处理框中①处的数应该是A.7B.8C.10D.15【答案】C【说明】本题考查算法的基本逻辑结构中的顺序结构、条件结构、循环结构.由(1)(3)6S，得10S.安徽省灵璧师范陈伟78910甲的成绩环数6446频数78910乙的成绩环数4664频数开始S输出是结束1i1ii否SSm21mi3i…S①ACByOx【试题10】(2009年测试题改编)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是A.27B.9C.274D.33【答案】D【说明】本题主要考查简单组合体的三视图及其体积.由几何体的三视图可知该组合体是由一个正方体和一个四棱锥组合而成，于是该几何体的体积为1333332333.【试题11】(2006年文史类第5题)已知(3)4(1)()log(1)aaxaxfxxx…是(,)上的增函数，那么a的取值范围是A.(1,)B.(,3)C.3[,3)5D.(1,3)安徽省灵璧师范陈伟【答案】D【说明】本题以分段函数为载体，考查函数单调性的概念以及一次函数及对数函数的性质.函数()fx在(,1)内为增函数的条件是30a.函数()fx在[1,)内为减函数的条件是1a.要使()fx是(,)上的增函数，还应有(3)14log1aaa„.由上可解得13a.本题难度为0.68【试题12】(2006年文史类第8题)图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中1x、2x、3x分别表示该时段单位时间通过路段AB、BC、CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则A.123xxxB.132xxxC.231xxxD.321xxx安徽省灵璧师范陈伟【答案】C【说明】本题是一道以环岛交通流量为背景的应用题，主要考查方程的思想和不等式的性质，对阅读理解能力以及在新颖的情境中选择和建立适当的数学模型的能力等都有一定要求.依题意，可有122331203035305550xxxxxx，于是可得231xxx.本题难度为0.47【试题13】(2009年文史类第8题)设D是正123PPP及其内部的点构成的集合，点0P是123PPP的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}iSPPDPPPPi„，则集合S表示的平面区域是A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域【答案】D【说明】本题主要考查数形结合的思想方法，考查综合应用所学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力.如图，作线段01PP的中垂线MN，则在直线MN的下方(包括线上)的点满足01||||PPPP„.同样，作02PP、03PP的中垂线，得到集合S表示的平面区域是如图的六边形区域.安徽省灵璧师范陈伟俯视图正视图侧视图2333BAC202x1x303x353055502PN1PM3PP本题难度为0.32安徽省灵璧师范陈伟二、填空题：把答案填在题中横线上.安徽省灵璧师范陈伟【试题14】(2008年测试题改编)口袋中有形状大小都相同的4只小球，其中有2只红球2只黄球，从中依次不放回地随机摸出2只球，那么2只都是黄球的概率为；2只球颜色不同的概率为【答案】1623【说明】本题主要考查随机事件的概率及性质，考查古典概型的概率求解方法.由于基本事件的总数为12，2只都是黄球的事件包含的基本事件的个数为2，2只球颜色不同的事件包含的基本事件的个数为8，因此2只都是黄球的概率为16；2只球颜色不同的概率为23【试题15】(2006年文史类第13题)在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin:sin:sin5:7:8ABC，则::abc，B的大小是【答案】5:7:83【说明】本题主要考查正弦定理、余弦定理.由正弦定理得::abc5:7:8，由余弦定理得1cos2B，所以3B.本题难度为0.66【试题16】(2004年文史类第14题)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}na是等和数列，且12a，公和为5，那么18a的值为，这个数列的前21项和21S的值为【答案】352【说明】本题主要考查数列的基本概念，考查综合应用所学数学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力.只要能够理解“等和数列”的概念，即可依题意得出已知的等和数列为2，3，2，3，2，3，…，于是可得答案.本题难度为0.74【试题17】(2008年测试一第9题)在区间[0,9]上随机取一实数，则该实数在区间[4,7]上的概率为【答案】13【说明】本题主要考查几何概型的概率计算.由于试验的全部结果构成的区域长度为9，构成该事件的区域长度为3，所以概率为3193.本题难度为0.54【试题18】(2008年文史类第13题)如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC、、的坐标分别为(0,4)(2,0)(6,4)、、，则((0))ff；函数()fx在1x处的导数(1)f【答案】22【说明】本题主要考查函数的概念和导数的几何意义.根据函数()fx的图像可知(0)4f，(4)2f，因此((0))(4)2fff.ABCOyx11264由导数的几何意义可知(1)f为函数()fx的图像在1x处的切线斜率直线AB的斜率，所以40(1)202f.本题难度为0.59【试题19】(2006年文史类第14题)已知点(,)Pxy的坐标满足条件41xyyxx„……，点O为坐标原点，那么||PO的最小值等于,最大值等于【答案】210【说明】本题主要考查线性规划等基础知识.依题意，作出满足约束条件的平面区域，为如图所示的ABC及其内部，(1,3)A、(2,2)B、(1,1)C，分别求||OA、||OB、||OC，并比较大小可得结论.本题难度为0.54【试题20】(2007年文史类第13题)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于【答案】725【说明】本题主要考查三角恒等变换、求值等基础知识.设直角三角形的短边长为x，则由已知条件可得222(1)5xx，解得3x，从而3sin5，27cos212sin25.本题难度为0.46三、解答题：解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.安徽省灵璧师范陈伟【试题21】(2009年文史类第15题)已知函数()2sin()cosfxxx.⑴求()fx的最小正周期；⑵求()fx在区间[,]62上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）∵2sincos2sincossin2fxxxxxx，∴函数()fx的最小正周期为.（Ⅱ）由2623xx，∴3sin212x，∴()fx在区间[,]62上的最大值为1，最小值为32.【说明】本题主要考查三角函数的图像及性质，考查诱导公式、二倍角的正弦公式、函数sin()yAx的周期及最大值为最小值.本题难度为0.651C4yOxA4B【试题22】(2006年文史类第16题)如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC底面ABC，3AC，4BC，5AB，D是AB的中点.⑴求证：1ACBC；⑵求证：1//AC平面1CDB.【答案】(1)∵三棱柱111ABCABC底面三边长3AC，4BC，5AB，∴ACBC.又∵1CC底面