北京市东城区高三综合练习(二)数学理

北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习（二）高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知复数2(1)(1)zaai，若z是纯虚数，则实数a等于（B）A．2B．1C．1D．12.对于非零向量a，b，“20ab=”是“a//b”的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图,输出的T等于（C）A.10B.15C.20D.304.右图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,计算该几何体的表面积为（D）A．15B．18C．22D．335.已知不等式组1,1,0xyxyy表示的平面区域为M，若直线3ykxk与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（A）A.1[,0]3B.1(,]3C.1(0,]3D.1(,]36.已知函数6(3)3,7,(),7.xaxxfxax若数列{}na满足()nafn*()nN，且{}na是递增数列，则实数a的取值范围是（C）A.9[,3)4B.9(,3)4C.(2,3)D.(1,3)7.已知抛物线22ypx(0)p与双曲线22221xyab(0,0)ab有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，若l为双曲线的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（D）A.(0,)6B.(,)64C.(,)43D.(,)328.已知集合{1,2,3,4}A，函数()fx的定义域、值域都是A，且对于任意iA，iif)(.设4321,,,aaaa是4,3,2,1的任意一个排列，定义数表12341234()()()()aaaafafafafa，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为(A)A．216B．108C．48D．24第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置的横线上．9.命题“000,xxexR”的否定是．10.如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知23AD，6AC，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为．11.已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在[6,10)内的样本频数为，样本数据落在[2,10)内的频率为．12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆5cos1,:5sin2xCy（为参数）和直线46,:32xtlyt（t为参数），则直线l与圆C相交所得的弦长等于．13.在函数)sin()(xAxf(0,0)A的一个周期内，当9x时有最大值21，当94x时有最小值21，若)2,0(，则函数解析式)(xf=．14.已知数列{}na中，nS是其前n项和，若11a，22a，1212nnnnnnaaaaaa，且121nnaa，则123aaa_______________，2010S_______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3cos23AC．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若3a，22b，求c的值21．BODAC16．（本小题满分13分）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和均值．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，90DAB，//ADBC，AD侧面PAB，△PAB是等边三角形，2DAAB，12BCAD，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：PECD；（Ⅱ）求四棱锥PABCD的体积；（Ⅲ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点F在y轴上，抛物线上一点(,4)Aa到准线的距离是5，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，过M，N两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求FTMN的值；（Ⅲ）求证：FT是MF和NF的等比中项．ABCDEP19．（本小题满分13分）已知数列na的前n项和为nS，11a，141nnSa，设12nnnbaa．（Ⅰ）证明数列nb是等比数列；（Ⅱ）数列nc满足21log3nncb*()nN，设1223341nnnTcccccccc，若对一切*nN不等式4(2)nnmTnc恒成立，求实数m的取值范围．20.(本小题满分14分)已知函数(1)()ln1axfxxx．(Ⅰ)若函数()fx在(0,)上为单调增函数，求a的取值范围；(Ⅱ)设m，nR，且mn，求证：lnln2mnmnmn．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B2．A3．C4．D5．A6．C7．D8．A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．xR，xex10．511．32，0.412．4613．1sin(3)26x14．6，4020注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为3cos23AC，又ABC，所以3sinsin()2223BAC．…………………………………3分所以21cos12sin23BB．………………………………………7分（Ⅱ）由余弦定理2222cosbacacB，得2210cc．…………………………………………………………11分解得1c．…………………………………………………………………13分16.（本小题满分13分）解：（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则3111433331227()55CCCCPAC．…………………………………………………5分（II）由题意X所有可能的取值为：1，2，3，4.…………………………………6分31211(1)220PXC；212133333331219(2)220CCCCCPXC；21123636333126416(3)22055CCCCCPXC；211239393331213634(4)22055CCCCCPXC．所以随机变量X的分布列为X1234P12201922016553455……………………………………………………………10分随机变量X的均值为11916341551234220220555544EX．………………………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AD侧面PAB，PE平面PAB，所以ADPE．……………………………………………………………2分又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，所以PEAB．因为ADABA，所以PE平面ABCD．…………………………………………………4分而CD平面ABCD，所以PECD．……………………………………………………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PE平面ABCD，所以PE是四棱锥PABCD的高．由2DAAB，12BCAD，可得1BC．因为△PAB是等边三角形，可求得3PE．所以111(12)233332PABCDABCDVSPE．………………9分（Ⅲ）解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz．则(0,0,0)E，(1,1,0)C，(2,1,0)D，(0,0,3)P．(2,1,0)ED，(0,0,3)EP，(1,1,3)PC．设(,,)xyzn为平面PDE的法向量．由0,0.EDEPnn即20,30.xyz令1x，可得(1,2,0)n．………………………12分设PC与平面PDE所成的角为．ABCDEPxyz||3sincos,5||||PCPCPCnnn．所以PC与平面PDE所成角的正弦值为35．…………………………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为22xpy(0)p．因为点(,4)Aa在抛物线上，所以0p．又点(,4)Aa到抛物线准线的距离是5，所以452p，可得2p．所以抛物线的标准方程为24xy．………………………………………………3分（Ⅱ）解：点F为抛物线的焦点，则(0,1)F．依题意可知直线MN不与x轴垂直，所以设直线MN的方程为1ykx．由21,4.ykxxy得2440xkx．因为MN过焦点F，所以判别式大于零．设11(,)Mxy，22(,)Nxy．则124xxk，124xx．……………………………………………………6分2121(,)MNxxyy2121(,())xxkxx．由于24xy，所以'12yx．切线MT的方程为1111()2yyxxx，①切线NT的方程为2221()2yyxxx．②由①，②，得1212(,)24xxxxT．…………………………………8分则1212(,1)(2,2)24xxxxFTk．所以21212()2()0FTMNkxxkxx．………………………10分（Ⅲ）证明：2222(2)(2)44FTkk．由抛物线的定义知11MFy，21NFy．则12(1)(1)MFNFyy2121212(2)(2)2()4kxkxkxxkxx244k．所以2FTMFNF．即FT是MF和NF的等比中项．…………………………………………………13分19．（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）由于141nnSa，①当2n时，141nnSa．②①②得1144nnnaaa．所以1122(2)nnnnaaaa．…………………………………………………2分又12nnnbaa，所以12nnbb．因为11a，且12141aaa，所以21314aa．所以12122baa．故数列nb是首项为2，公比为2的等比数列．…………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2nnb，则211log33nncbn（n*N）．1223341nnnTcccccccc1111455667(3)(4)nn1144n4(4)nn．……………………………………………………………………9分由4(2)nnmTnc，得243mnnnn．即(4)(2)(3)nnmnn．所以22683nnmnn．所以22383811333nmnnnnn．……………………………………11分设238()133fxxxx，1x．可知()fx在[1,)为减函数，又15(1)4f，则当n*N时，有()(1)fnf．所以154m．故当154m时，4(2)nnmTnc恒成立．…………………………………13分20.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)'21(