2015高三文科数学二轮复习 专题3数列

第8讲数列、等差数列、等比数列第9讲数列求和及数列的简单应用专题三数列第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录考点考向探究核心知识聚焦第8讲数列、等差数列、等比数列体验高考返回目录1．[2013·重庆卷]若2，a，b，c，9成等差数列①，则c－a＝________．[答案]72[解析]设公差为d，则d＝9－25－1＝74，所以c－a＝2d＝72.⇒等差数列关键词：概念如①、基本量、通项公式如②、求和公式．主干知识核心知识聚焦第8讲数列、等差数列、等比数列体验高考返回目录2．[2014·重庆卷改编]在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝②________．[答案]8[解析]设公差为d，由题意得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.核心知识聚焦体验高考返回目录3．[2013·新课标全国卷Ⅰ改编]设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为S③n，则Sn＝________．[答案]3－2·23n－1[解析]Sn＝1－23n1－23＝3－2·23n－1.⇒等比数列关键词：概念、基本量、通项公式、求和公式如③.主干知识第8讲数列、等差数列、等比数列核心知识聚焦体验高考返回目录4．[2013·上海卷]在等差数列an中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝④________．[答案]15[解析]因为a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝30，所以a2＋a3＝15.⇒等差数列与等比数列的性质关键词：在条件m＋n＝p＋q下am，an，ap，aq的关系，如④⑤.主干知识第8讲数列、等差数列、等比数列核心知识聚焦体验高考返回目录5．[2014·广东卷]等比数列an的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a⑤5＝________．[答案]5第8讲数列、等差数列、等比数列[解析]在等比数列{an}中，a1a5＝a2a4＝a23＝4.因为an0，所以a3＝2，所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a53＝25，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.核心知识聚焦体验高考返回目录6．[2014·湖北卷改编]已知递增的等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列⑥，则数列{an}的通项公式an＝________．[答案]4n－2⇒等差数列与等比数列的综合关键词：等差与等比问题融合在一个问题中如⑥.主干知识[解析]设等差数列的公差为d，则d0.因为a1，a2，a5成等比数列，所以a22＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，解得d＝4，所以an＝4n－2.第8讲数列、等差数列、等比数列核心知识聚焦返回目录——教师知识必备——知识必备数列、等差数列、等比数列概念按照一定次序排列的一列数．分有穷、无穷、递增、递减、摆动、常数数列等通项公式数列{an}中的项用一个公式表示，an＝f(n)数列、等差数列、等比数列一般数列{an}前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋anan＝11,1,nnSnSSn，≥2第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录累加法an＋1＝an＋f(n)型累乘法an＋1＝anf(n)型转化法an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0，1，q≠0)⇔an＋1pn＋1＝anpn＋q数列、等差数列、等比数列简单的递推数列解法待定系数法an＋1＝can＋d(c≠0，1，d≠0)⇔an＋1＋λ＝c(an＋λ)，λ＝dc－1.比较系数得出λ，转化为等比数列解决递推数列问题的基本思想是“转化”，即转化为两类基本数列——等差数列、等比数列求解——教师知识必备——第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录概念满足an＋1－an＝d(常数)，d＞0递增、d＜0递减、d＝0常数数列通项公式an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)dam＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋qam＋an＝2ap⇔m＋n＝2p数列、等差数列、等比数列等差数列{an}前n项和公式Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n（a1＋an）2Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列——教师知识必备——第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录概念满足an＋1：an＝q(q≠0且q为常数)，单调性由a1的正负，q的范围确定通项公式an＝a1qn－1＝amqn－maman＝apaq⇔m＋n＝p＋qaman＝a2p⇔m＋n＝2p数列、等差数列、等比数列等比数列{an}前n项和公式Sn＝111(1),1,11,1nnaaqaqqqqnaq公比不等于－1时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列——教师知识必备——第8讲数列、等差数列、等比数列返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列►考点一等差数列的计算与证明概念——1.对等差数列概念的理解；2.等差数列的判断与证明通项——1.求等差数列中的某一项；2.求通项；3.求n前n项和——1.求等差数列前n项和；2.求通项；3.求基本量题型：选择，填空，解答分值：5－14分难度：基础热点：求等差数列基本量考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列例1(1)已知数列{an}，若对任意n∈N*满足an＋1＝an＋a2，且a3＝2，则a2014＝()A．2013B．2014C．20132D．1012(2)[2014·安徽卷改编]已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N＋，求证：数列ann是等差数列．[答案](1)A考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列[解析]在an＋1＝an＋a2中，令n＝1，则a2＝a1＋a2，所以a1＝0.令n＝2，则a3＝2a2，所以a2＝1.于是an＋1－an＝1，故数列an是首项为0，公差为1的等差数列，所以a2014＝2013.(2)证明：由已知可得an＋1n＋1＝ann＋1，即an＋1n＋1－ann＝1，所以数列ann是以a11＝1为首项，1为公差的等差数列．[小结]在等差数列问题中，最基本的量是首项和公差，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本量方法，其中蕴含着方程思想的运用．等差数列的判断或证明，一般是依据等差数列的定义或等差中项进行判断．考点考向探究返回目录变式题(1)设{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a1＋a2＋a5＋a8＝8，则S7＝()A．13B．14C．15D．16(2)已知等差数列{an}单调递增且满足a1＋a10＝4，则a8的取值范围是()A．(2，4)B．(－∞，2)C．(2，＋∞)D．(4，＋∞)第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录[解析](1)因为a1＋a5＝2a3，a2＋a8＝2a5，所以由a1＋a2＋a5＋a8＝8，可得a3＋a5＝4，所以S7＝7（a1＋a7）2＝7（a3＋a5）2＝14.(2)a1＋a10＝a3＋a8＝4，由于数列{an}单调递增，所以a3＜a8，所以2a3＜a3＋a8＝4，所以a3＜2，所以a8＝4－a3＞2，即a8的取值范围是(2，＋∞)．[答案](1)B(2)C第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列►考点二等比数列的基本计算概念——1.等比数列概念的理解；2.等比数列的判断与证明通项——1.求等比数列中的某一项；2.求通项；3.求n前n项和——1.求等比数列前n项和；2.求通项；3.求基本量题型：选择，填空，解答分值：5－14分难度：中等热点：求等比数列基本量考点考向探究返回目录例2[2014·新课标全国卷Ⅱ]等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(n＋1)B．n(n－1)C．n（n＋1）2D．n（n－1）2第8讲数列、等差数列、等比数列[解析]由题意，得a2，a2＋4，a2＋12成等比数列，即(a2＋4)2＝a2(a2＋12)，解得a2＝4，故a1＝2，所以Sn＝2n＋n（n－1）2×2＝n(n＋1)．[答案]A考点考向探究返回目录[小结]在等比数列问题中，最基本的量是首项和公比，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等比数列问题的基本量方法，其中蕴含着方程思想的运用．等比数列的判断或证明，一般是依据等比数列的定义或等比中项进行判断．第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列变式题(1)已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，则等比数列{an}的公比q的值为()A．14B．12C．2D．8(2)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5，若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．[答案](1)B[解析]依题意，因为a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，所以a4＋a6a1＋a3＝a1q3＋a3q3a1＋a3＝q3＝18，所以q＝12.考点考向探究返回目录(2)证明：设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以数列{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d.依题意，得(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，故数列{bn}的公比为2，b1＝54，所以数列{bn}的前n项和Sn＝54（1－2n）1－2＝5×2n－2－54，即Sn＋54＝5×2n－2，所以S1＋54＝52，因此数列Sn＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲数列、等差数列、等比数列►考点三数列中递推关系递推数列——1.由递推公式求通项公式；2.由ap求aq项an与Sn的关系——1.由an与Sn的关系求an；2.由an与Sn的关系求Sn题型：选择，填空分值：4－5分难度：中等热点：求通项an考点考向探究返回目录例3(1)[2014·新课标全国卷Ⅱ]数列{an}满足an＋1＝11－an，a8＝2，则a1＝________．(2)单调递增数列an的前n项和为Sn，满足Sn＝12a2n＋n，则数列{an}的通项公式为________．第8讲数列、等差数列、等比数列[解析](1)由题易知a8＝11－a7＝2，得a7＝12；a7＝11－a6＝12，得a6＝－1；a6＝11－a5＝－1，得a5＝2，于是可知数列{an}具有周期性，且周期为3，所以a1＝a7＝12.[答案](1)12(2)an＝n考点考向探究返回目录(2)n＝1时，a1＝12a21＋1，得a1＝1，当n≥2时，有Sn－1＝12a2n－1＋n－1①，又Sn＝12a2n＋n②，由②－①得an＝12a2n－a2n－1＋1，即an－12－a2n－1＝0，所以an－an－1＝1或an＋an－1＝1(n≥2)．又因为an是单调递增数列，故an－an－1＝1，所以数列an是首项为1，公差为1的等差数列，所以an＝n.第8讲数列、等差数列、等比数列考点考向探究返回目录[小结]由含an与Sn的关系式求an，主要是利用公式an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，将式中的Sn或Sn－1转化为an，在使用an＝Sn－Sn－1时需n≥2，所以一般要验证当n＝1时，a1＝S1是否满足当n≥2时数列的通项公式．第8讲数列、等差数列、等比数列变式题(1)已知数列an满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N*)，则a2014等于()A．0B．－3C．3D．2(2)设Sn是数列{an