2015福州市第二次质检数学理试题及答案(3月)

2015年福州市高中毕业班质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：1．样本数据12,,,nxxx的标准差222121nsxxxxxxn，其中x为样本平均数；2．球的表面积、体积公式：24SR,343VR，其中R为球的半径．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知全集UR，集合22Mxx„，Pxyx，则UMPð等于A．2,0B．2,0C．0,2D．0,22．在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点与点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为(3,1)，则cos()3的值是A．0.5B．0C．0.5D．13．在等差数列na中，若21a，8642aaa，则5a的值是A．5B．12C．12D．524．若4442224,,2axdxbdxcdxx，则,,abc的大小关系为A．abcB．bacC．bcaD．cba5．执行如图所示的程序框图，输出S的值为A．1B．1C．0D．20146．在棱长为3的正方体内任取一点P，则点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为A．127B．162C．1162D．26277．“直线l垂直于平面”的一个必要不充分条件是A．直线l与平面内的任意一条直线垂直B．过直线l的任意一个平面与平面垂直C．存在平行于直线l的直线与平面垂直D．经过直线l的某一个平面与平面垂直开始输出结束0,1Sn1nSS1nn2015?nS是否第5题图8．已知EFH是边长为1的正三角形，动点G在平面EFH内．若0EGEF，||1HG，则HGEF的取值范围为A．1[1,)2B．1[1,]2C．33(,]24D．31(,)229．若函数()fx满足：12,[11]xx，，都有1212()()fxfxxx„成立，则称()fx．对于函数3()gxxx,1,0,()cos,0xxhxxx…有A．()gx且()hxB．()gx且()hxC．()gx且()hxD．()gx且()hx10．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一名男医生．”请你推断说话的人的性别与职业是A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上．）11．已知,abR，i为虚数单位，若i=2+iab，则2(i)ab★★★．12．2242(2)axax展开式的常数项为280，则正数a★★★．13．已知抛物线2:4yx的焦点为F，P是的准线上一点，Q是直线PF与的一个交点．若2PQQF，则直线PF的方程为★★★．14．已知一组正数123,,xxx的方差22221231(12)3sxxx，则数据1231,1,1xxx的平均数为★★★．15．已知函数sinfxxx，有下列四个结论：①函数fx的图象关于y轴对称；②存在常数0T，对任意的实数x，恒有fxTfx成立；③对于任意给定的正数M，都存在实数0x，使得0fxM…；④函数fx的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合．其中正确结论的序号是★★★(请把所有正确结论的序号都填上)．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分13分）已知函数()3sincos(0)fxxx的图象与直线2y的相邻两个交点之间的距离为π．（Ⅰ）求函数()fx的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC的内角,,ABC所对的边分别是,,abc．若()2,fA3ab，求角B的大小．17．（本小题满分13分）第8题图调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为,,xyz，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标wxyz的值评定中年人的成就感等级：若4w…，则成就感为一级；若23w剟，则成就感为二级；若01w剟，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：人员编号1A2A3A4A5A,,xyz1,1,22,1,12,2,20,1,11,2,1人员编号6A7A8A9A10A,,xyz1,2,21,1,11,2,21,0,01,1,1（Ⅰ）在这10名被采访者中任取两人，求这两人的职业．．满意度指标z相同的概率；（Ⅱ）从成就感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为a，从成就感等级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为b，记随机变量Xab，求X的分布列及其数学期望．18．（本小题满分13分）已知一个空间几何体的直观图和三视图（尺寸如图所示）．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分13分）如图，已知椭圆2222:1xyab（0ab）的离心率12e．点,FA分别为椭圆的左焦点和右顶点，且3AF．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F作一条直线l交椭圆于,PQ两点，点Q关于x轴的对称点为Q．若PFAQ∥，求证：12PFAQ．20．（本小题满分14分）已知函数()xfxaax，ea…，e2.71828为自然对数的底数．（Ⅰ）当ea时，求函数()fx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）设*nN，比较(1)ln2nna与ln(1)ln(21)ln(31)ln(1)aaana的大小，并加以证明．21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．若多做，则按所做的前两题计分．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵122222222A．（Ⅰ）求矩阵A；（Ⅱ）求曲线1xy在矩阵A所对应的线性变换作用下所得的曲线方程．（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为22cos,2sinxy（为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为πcos224．（Ⅰ）把1C的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C与2C交点的极坐标（0,02π厔）．（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲已知定义在(0,)上的函数20afxxax的最小值为3．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求不等式14xax„的解集．xyPQ'QAFO第19题图2015年福州市高中毕业班质量检测理科数学能力测试参考答案及评分细则第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．A2．B3．B4．C5．C6．D7．D8．A9．C10．B第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．34i12．213．10xy或10xy14．315．①③④三、解答题（本大题共6小题，共80分．)16．本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式、利用正弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．解：(Ⅰ)因为()3sincos(0,)fxxxxR，所以π()2sin()6fxx．···········································································1分所以函数()fx的最大值为2．·······································································2分因为函数()fx的图象与直线2y的相邻两个交点之间的距离为π，所以πT，·····························································································3分所以2ππ，解得2,·············································································4分所以π()2sin(2).6fxx令πππ2π22π,262kxkkZ剟，································································5分解得ππππ,63kxkkZ剟．所以函数()fx的单调递增区间是ππ[π,π],63kkkZ．····································6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，π()2sin(2).6fxx在ABC中，因为()2,fA所以π2sin(2)2,6A··················································································7分所以πsin(2)1,6A因为0πA，所以π3A．·······································································9分因为3ab，根据据正弦定理，有sin3sinAB，······································10分所以πsin3sin3B，所以1sin2B，··························································11分因为ab，所以AB，所以π03B，····················································12分所以π6B．···························································································13分17．本小题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）设事件A为“从10名被采访者中随机抽取两人，他们的职业满意度指标相同”．职业满意度指标为0的有：9A；职业满意度指标为1的有：2A,4A,5A,7A,10A；职业满意度指标为2的有：1A,3A,6A,8A．从10名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为210C，·······························1分45，··································2分职业满意度指标相同